Termodinâmica do desmonte de rochas – Parte 1

Se você prestar atenção o desmonte de rocha é fundamentado no gerenciamento da energia de ligação de um átomo de nitrogênio. O Nitrato de Amonia, se me lembro bem, libera a energia de suas ligação covalentes dos ions \( NH_4^+\) e \(NO_3^-\) quando em regime de detonação. É destas reconfigurações de ligações químicas que provem toda a energia que usamos. Parte dela está associada à fragmentação e aceleração do material desmontrado. Abrir fraturas consome (muita) energia. Parte do trabalho é gasto na oscilação do material circundante, causada pela passagem de perturbações: ondas P, S, Love, Rayleigh, Lamb e Stoneley são alguns exemplos. Ainda existe a parcela que é transformada em calor, grande parte através das forças viscosas atreladas ao atrito interno do material, que transformam parte da energia coerente de uma oscilação em energia irrecuperável, e nesta parte somos cumplices do aumento da enrtropia do universo, fornecendo, inexoravelmente, nossa contribuição.
O uso da termodinâmica para entender e, por conseguinte, aplicar o conhecimento da análise da energia entregue ao meio por uma coluna de explosivos é fundamental. É deste primeiro conjunto de conceitos físicos que nascem, acreditem, todas as teorias de fragmentação, flyrock, formato de pilha, vibrações, sobrepressão acúsitica, temporização ótima e disposição espacial ótima (malha de perfuração). Sem entender como a energia é entregue ao meio é impossível prever sua reação. Seja na análise da solicitação do meio em regime de choque à mediação entre pressão de detonação e velocidade de partícula feita pelas impedâncias dos meios, a termodinâmica está presente como fornecedora de modelos físicos.
A compreensão dos conceitos apresentados neste pequeno texto pode te dar um combustível enorme para otimizar a sua produção. Pode ser pelo caminho da análise exergética de toda a sua cadeia produtiva: desmonte->carga->transporte->britagem(moagem)->beneficiamento, ou apenas no processo do desmonte, entender como a energia se transforma e os limites de sua disponibilidade para trabalho útil é, no final de tudo, o que importa.

Muitos textos clássicos introduzem este assunto com o uso da analogia de um pistão comprimindo um meio gasoso. Acredito que esta abordagem é emprestada do estudo de escoamentos compressivos e regimes de choque. Os livrros Rock Blasting and Explosives Engineering, Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena e Detonation: Theory and Experiment são alguns que conheço que usam a analogia do pistão. O indispensável livro de Paul W. Cooper, Explosives Engineering, já tem uma abordagem mais, digamos, contundente, deduzindo as equações de salto de Rankine-Hugoniot, que é nosso objetivo principal aqui, de uma maneira mais direta, sem tanto apelo a simplificações. Acho que para nosso propósito um meio termo é justo. Nem começar pelo uso de uma escalada de metáforas nem por uma abordagem puramente física e demasiada densa em formalismo matemático. Mas mesmo assim, para compreender grande parte dos conceitos apresentados neste texto você deve ter um conhecimento suficiente de conceitos relativos a termodinâmica básica.
Observe a figura abaixo, uma coluna de explosivo em um furo. Coisa do dia-a-dia para nós. Acho que é mais fácil começar direto deste ponto. Tudo o que está em verde representa o material explosivo. A linha vermelha mostra o ponto de iniciação da massa.

O que acontece quando você inicia o furo é mais ou menos isso que mostra a animação abaixo, considerando um sistema idealizado.

Existem apenas três maneiras da energia cruzar as fronteiras de um sistema: por fluxo de massa, calor e trabalho. Depois de iniciada a massa explosiva, a energia pode ser entregue ao maciço apenas através destas treŝ maneiras. Uma delas é totalmente inútil à fragmentação: o calor. O fluxo de massa carregando energia para fora do volume de controle pode não ser uma coisa positiva, quando, por exemplo, os gases escapam por uma ou mais fraturas pré-existentes, levando consigo parte da energia que poderia ser aproveitada na fragmentação. Já os trabalhos associados a expansão dos gases transferindo momento ao material fragmentado ou mesmo sendo consumido na abertura de fraturas e o trabalho imposto pelo regime de choque ao meio possuem papeis distintos, mas ao mesmo tempo complementares, na fragmentação e no lançamento do material. Neste texto trataremos primeiro dos eventos imediatamente antes que a energia possa cruzar a fronteira. Isso significa que vamos analisar o potencial de energia que podemos entregar ao meio. Se, após isso, essa energia será convertida em trabalho útil é outra história, mas o inicio, o capítulo um da saga começa na análise termodinâmica da detonação.

Continuando com a figura exemplo, vamos observar algumas variáveis de estado e adotar um sistema de coordenadas qualquer.

A frente que se desloca com velocidade \(\vec{V} \) no sentido horizontal para a esquerda é o famos plano de Chapman-Jouguet (CJ). Recebe esse nome devido ao físico britânico David Chapman e o engenheiro francês Émile Jouguet que no começo do século XX estudaram e descreveram a física da detonação. As variáveis de estado mostradas na figura possuem valores antes da passagem de CJ e depois. Estas variáveis são:

• \(\rho \rightarrow \) Densidade de massa
• \(u \rightarrow \) Velocidade de partícula
• \(T \rightarrow \) Temperatura
• \(p \rightarrow \) Pressão
• \(e \rightarrow \) Energia específica interna

A figura acima é uma representação idealizada com intuito didático de mostrar a situação mostrada na figura abaixo:

Na figura acima podemos ver a iniciação de um cartucho de emulsão alguns microsegundos após a detonação da espoleta de iniciação. Na figura abaixo podemos observar o plano de CJ durante a detonaçaõ e um cordel detonante NP-10.

Na imagem acima você pode observar que o plano de CJ, na realidade, não é bem um plano, mas um pequeno volume de reação. Mas para nossas deduções aqui, considerar um plano não traz muita dificuldade e fere pouco a verdade.

O subindice 0 nas variáveis de estado indica que o material ainda não sofreu alterações. São as propriedades do explosivo intacto, que ainda não foi iniciado. Já o subindice 1 indica que as propriedades foram alteradas pela passagem do plano CJ, ou seja, algo aconteceu no material que alterou suas propriedades. Este “algo aconteceu com o material” é o que nos interessa. Veja, poderíamos partir de uma análise química, atômica, considerando um material metaestável como uma molécula de explosivos e descrever suas reações e consequentes reconfigurações das ligações químicas. Certamente chegaríamos ao mesmo local. Mas, podemos adotar uma espécie de atalho e poupar muito trabalho. Este caminho é a aplicação das leis de conservação de massa, momento e energia. Podemos tratar de certa forma a decomposição da massa explosiva dentro de um furo como um escoamento compressivo. Para isso é melhor utilizar uma abordagem Euleriana. Explico. Na figura acima quando inserimos um sistema de coordenadas, se quisermos, por exemplo, verificar a variação de momento ou de energia no nosso sistema, devemos observar cada molécula, ou seja, medir a propriedade que queremos de cada parte que constitui nosso sistema. Mesmo quantidades pequenas, por exemplo, 80 gramas de Nitrato de Amonia, que equivalem a aproxidamente 1 mol desta substância, teríamos que analisar uma ordem de grandeza de \(6.10^{23}\) moléculas, medindo individualmente seus momentos e energia e verificando a interação entre elas. Este tipo de abordagem, fixando um referencial e observando cada componente do sistema em relação a ele, chamamos de abordagem Lagrangeana. Por outro lado, se fixamos um local, um volume no espaço e observamos o que acontece com o material que por ele entra e sai, focamos nossa atenção as alterações que ocorrem dentro deste volume. No nosso caso, isso é equivalente a fixar um sistema de coordenadas sobre o plano CJ. Agora, estamos parados sobre o plano CJ e o que observamos? Vemos a massa explosiva se aproximar do nosso referencial a uma velocidade \(\vec{V}\) se assumimos que sua velocidade inicial é \(u_0 = 0\). Este tipo de abordagem recebe o nome de Euleriana.

Existe toda uma discussão um pouco mais profunda sobre referencias Eulerianos e Lagrangeanos, seja no ambito da Mecância dos Fluídos ou mesmo na Mecânica Estatistica você vai se deparar com este tipo de situação. Não vamos nos aprofundar nestes detalhes por aqui. Basta sabermos que agora estamos analisando a decomposição da massa explosiva observando o que acontece dentro de um volume de controle e observamos a massa explosiva entrar neste volume com uma velocidade:
\[
v_0 = – V – u_0 = – V – 0 = – V
\]
E sair deste volume com uma velocidade:
\[
v_1 = – (V + u_1)
\]

Você já deve ter desconfiado que \(V\) é a famosa VoD Velocity of Detonation, ou velocidade de detonação. Neste momento você deve se convencer das duas equações acima. Ela são simples, representam apenas a velocidade relativa em relação ao referecial sobre o plano CJ. Se a massa explosiva estava em repouso imediatamente antes da sua reação então \(u_0=0\). Após a reação, os produtos resultantes são acelerados até uma velocidade \(v_1\) em relação ao plano CJ. O sinal negativo indica apenas que escolhemos o sentido positivo orientado para a direita enquanto a massa explosiva se aproxima em sentido a esquerda. Isso não tem importância, poderíamos ter escolhido qualquer outra orientação.
As velocidades de partícula \(u_0\) e \(u_1\) são as mesmas que usamos no contexto de sismografia? O conceito sim, mas não exatamente a mesma coisa. Aqui, você pode enxergar \(u_0\) e \(u_1\) como a velocidade do fluxo. Em sismografia, você deve entende-las como a velocidade de oscilação do terreno no ponto de medição. No final das contas elas estão associadas a parcela de energia cinética dos nossos modelos, nisso elas elas possuem a mesma conotação: são um dos graus de liberdade dos sistemas.

Observe a figura abaixo. Vamos agora definir o nosso volume de controle e para isso vamos usar a conservação da massa.

Como as densidades são em princípio diferentes em cada lado, o comprimento \( l_0\) não tem o mesmo valor de \(l_1\) considerando uma mesma área de seção transversal \(A\). Se consideramos que o volume, \(\beta_0\), de material explosivo ao lado de \(l_0\) contem a mesma massa (preste atenção: massa) que o volume, \(\beta_1\), correspondente ao comprimento \( l_1\), que é o volume ocupado pelos gases pós reação, temos:

\[
\begin{align*}
\rho_0 = \frac{m}{\beta_0}=\frac{m}{A l_0}= \frac{m}{AtV}
\\
\\
\rho_1 = \frac{m}{\beta_1}=\frac{m}{A l_1}= \frac{m}{At(V-u_1)}
\\
\\
\rho_0 A t V = \rho_1 A t (V-u_1)
\\
\\
\frac{\rho_1}{\rho_0}=\frac{V}{V-u_1} = \frac{1}{1-\frac{u_1}{V}}
\\
\\
\text{ ou ainda, como é mais classicamente conhecida esta equação:}
\\
\\
\rho_1 d_1 = \rho_0 V
\end{align*}
\]
Nas deduções acima \(t\) é o tempo. Uma observação aqui não pode passar despercebida: estamos trabalhando com um sistema isolado e fechado, por enquanto. Isso significa que nada, nem materia nem energia, passa pela fronteira em azul.
Esta equação é a primeira das três equações conhecidas como Equações de Salto de Rankine-Hugoniot e provem diretamente da conservação de massa.

A conservação de momento na demonstração clássica vem diretamente da aplicação da
segunda lei de Newton que diz que a força resultante sobre um corpo é igual a taxa de
variação temporal do momento linear deste corpo.
A variável de estado que podemos usar para extrair a força atuante sobre a massa de
controle é a pressão. Da definição canônica de pressão temos:

\[
p=\frac{F}{A} \rightarrow F = pA
\]

Então, a força resultante, liquida, atuante sobre a nossa massa de controle é:

O termo, \(\frac{m_1u_1 – m_0u_0}{t}\), representa a variação do momento linear.
Da conservação da massa sabemos que:
\[
m_0 = \rho_0 V tA
\\
m_1 = \rho_1(V – u_1) tA
\]

Substituindo:
\[
p_1A – p_0A = \frac{m_1u_1 – m_0u_0}{t}
\\
p_1 A – p_0 A = \frac{\rho_1(V-u_1) t Au_1 – \rho_0VtAu_0}{t}
\\
p_1-p_0=\rho_1(V-u_1) u_1 – \rho_0 V u_0
\]
Podemos usar:
\[
\rho_0 (V-u_0) = \rho_1 (V-u_1)
\]
E obter a equação final:
\[
p_1-p_0=\rho_1(V-u_1)u_1 – \rho_0Vu_0
\\
p_1-p_0=\rho_0 (V-u_0)u_1 – \rho_0Vu_0
\\
p_1=p_0+\rho_0(Vu_1 – u_0 u_1 – V u_0)
\\
p_1=\rho_0 V u_1
\]
Existem algumas abordagens para a conservação de energia. Cooper, por exemplo, parte da
análise da potência sobre a massa de controle antes e depois do choque. Zeldovich & Rayzer (Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena) partem do conceito de entalpia:

\[
h = \epsilon + \frac{p}{\rho}
\]

Na equação acima, \(h\) é a entalpia especifica, ou seja, entenda-a como “por massa”. A variável \(\epsilon\) é a energia específica interna da substância e \(\frac{P}{\rho}\) é o trabalho específico necessário para que a substância ocupe seu lugar no mundo. É o mesmo que \(\frac{pdV}{m}\), ou seja o trabalho de expansão por unidade de massa, mas ao invés de utilizarmos o volume, usamos a densidade de massa. Podemos escrever:

\[
\epsilon_1+\frac{p_1}{\rho_1} + \frac{u_1^2}{2} = \epsilon_0 + \frac{p_0}{\rho_0} + \frac{u_0^2}{2}
\]

Esta ultima equação nada mais é que a aplicação da conservação de energia: no nosso sistema fechado e isolado, a energia que havia antes da inciação da massa explosiva é exatamente a mesma disponível após a detonação. Parece razoável supor que \(\epsilon_1\) seja menor que \(\epsilon_0\), pois toda a energia necessária para expandir os produtos resultantes da detonação, \(\frac{p_1}{\rho_1} \) bem como a utilizada a impor movimento ao fluxo, \(\frac{u_1^2}{2}\), tem como única fonte a energia específica interna da massa explosiva \(\epsilon_0\). Isso é exatamente o que dissemos na introdução deste estudo que o desmonte de rochas trata sobre gerenciar a energia contida na ligação química da substância explosiva, ou seja podemos escrever sem medo:
\[
\epsilon_1+\frac{p_1}{\rho_1} + \frac{u_1^2}{2} = \epsilon_0 + \frac{0}{\rho_0} + \frac{0^2}{2}
\\
\\
\epsilon_1+\frac{p_1}{\rho_1} + \frac{u_1^2}{2} = \epsilon_0
\]
Ou seja, a variação da energia específica interna do material explosivo consiste exatamente na energia que disponibilizamos à velocidade do fluxo bem como ao trabalho necessário para a expansão do mesmo:
\[
\epsilon_1 – \epsilon_0 = – (\frac{p_1}{\rho_1} + \frac{u_1^2}{2})
\]

Se utilizarmos as deduções feitas na conservação de massa e momento, podemos chegar a expressão clássica:

Aqui, \(\nu_0\) e \(\nu_1\) são os volumes específicos (\(\nu = \frac{1}{\rho}\)).

As equações:
\[
\frac{\rho_1}{\rho_0}=\frac{V}{V-u_1}=\frac{1}{1-\frac{u_1}{V}}
\\
p_1=\rho_0 V u_1
\\
\epsilon_1-\epsilon_0 = \frac{1}{2}(p_1-p_0)(\nu_0 -\nu_1)
\]
descrevem os possíveis estados do sistema, sejam eles iniciais ou finais. Se obedecemos a conservação de massa, momento e energia, obrigatoriamente nosso sistema evolui aos estados finais dados sobre os locus representados por estas curvas. Estas equações são conhecidas como as equações de salto de Rankine-Hugoniot. Podemos chegar nelas de uma maneira um pouco mais rigorosa usando o Teorema de Transporte de Reynolds. Relembrando das suas aulas de mecânica dos fluídos:
\[
\frac{d}{dt}B_{sistema} = \frac{\partial}{\partial t}\int_{Vc}\zeta \rho dV + \int_{sc}\zeta \rho \vec{v} \cdot\hat{n} dA
\]

O termo \(B\) é qualquer propriedade extensiva do nosso sistema e o termo \(\zeta\) é a propriedade intensiva relacionada a \(B\) na qual queremos observar a variação dentro do volume de controle. Por exemplo, se queremos estudar o fluxo de massa sobre o volume de controle teremos \(\zeta = 1\), dado que a propriedade massa específica do nosso sistema só pode ser a unidade, \(\frac{m}{m}=1\). Por outro lado, se queremos analisar o fluxo de momento sobre o nosso volume de controle então \(\zeta = v\), dado que:
\[
p=mv
\\
\frac{p}{m}=v
\]
Ou seja, a velocidade do nosso fluxo indica a quantidade de momento por unidade de massa que nosso sistema transporta. Para a energia, podemos substiuir o lado esquerdo pela primeira Lei da Termodinâmica em razão do fluxo de calor e trabalho e construir algo assim:
\[
\dot{Q} – \dot{W} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{Vc}\rho\biggl[\frac{v^2}{2} + gz + \epsilon\biggr]dV + \int_{sc} \biggl[\frac{v^2}{2} + gz + \epsilon\biggr] \rho \vec{v} \cdot\hat{n} dA
\]
Os termos \(\biggl[\frac{v^2}{2} + gz + \epsilon\biggr]\) representam as energias específicas (por massa!) cinética, potencial e interna.

Volte agora um pouco acima no texto e observe a imagem do cordel detonando. Agora, olhando para a equação
\[
\epsilon_1-\epsilon_0 = \frac{1}{2}(p_1-p_0)(\nu_0 -\nu_1)
\]
não parece que falta algo? Veja, esta equação considera a passagem de uma frente de choque que por si mesma altera as propriedades do fluído, no caso a massa explosiva. Mas nas imagens o que vemos é uma frente de choque reativa, ou seja, causada pela reação química da massa e que libera luz e calor. Se quisermos ser fiel a conservação de energia levando em conta a reação química da massa, devemos incluir esta energia liberada em forma de calor:
\[
\epsilon_1-\epsilon_0 = \frac{1}{2}(p_1-p_0)(\nu_0 -\nu_1) + Q
\]
Esta inclusão do termo \(Q\) transforma a equação no que se conhece como curva Hugoniot Reativa. Quando \(Q\) não está presente, a Hugoniot é dira não reativa.
Esta energia, $atex Q$, não pode ser inferida apenas pelas implicações de conservação de massa,
momento e enrergia ela depende unicamente da reação que está ocorrendo e que acompanha
a frente de choque. É provável que Q seja uma função da temperatura, pressão e outras variáveis termodinâmicas. Mas, para aproximações, podemos usar uma valor constante de Q e o que isso faz é deslocar lateralmente o gráfico da Hugoniot não-reativa, por exemplo, nos planos P − ν, U − u e P − u.

Existem diversos diagramas entre as variáveis de estado densidade, volume específico,
velocidade de partícula, velocidade de choque e pressão associados as equações de salto de
Rankine-Hugoniot.
Ao plotarmos uma Hugoniot não-reativa e outra reativa em um diagrama P − ν temos
algo como o mostrado na figura abaixo:

Voltemos nossa atenção para as equações de Rayleigh que deduzimos pela conservação de massa e momento:

\[
\frac{\rho_1}{\rho_0}=\frac{V}{V-u_1}=\frac{1}{1-\frac{u_1}{V}}
\\
\\
p_1=\rho_0 V u_1
\]

Se denominamos \(j\) o fluxo de massa atraves do nosso volume de controle e isolamos \(u_1\):
\[
\begin{align*}
\frac{\rho_1}{\rho_0} = \frac{V}{V – u_1}
\\
\\
\rho_1(V-u_1) = \rho_0 V = j
\\
\\
u_1=V(1 – \frac{\rho_0}{\rho_1}) = V(1 – \frac{\nu_1}{\nu_0})
\end{align*}
\]
e eliminamos o termo \(u_1\) da equação resultante da conservação de momento linear:
\[
\begin{align*}
p_1= \rho_0 V u_1
\\
\\
p_1= \rho_0 V^2(1 – \frac{\nu_1}{\nu_0})
\\
\\
p_1=j^2(\nu_1-\nu_0)
\end{align*}
\]
Esta é a forma clássica da reta de Rayleigh entre dois estados. As retas de Rayleigh podem cruzar uma curva de Hugoniot em diversos pontos. Estes pontos podem ter algum significado físico ou não. Mas existe um ponto em especial onde uma reta de Rayleigh toca apenas um ponto da curva de Hugoniot reativa e outro dois da não-reativa, ou seja onde ela tangencia a curva reativa. Veja a figura abaixo.

O ponto B na figura é o famosíssimo ponto de Chapman-Jouguet. Provavelmente seu explosivo detona inicialmente com a velocidade associada ao estado CJ \((p_{cj};\nu_{cj})\). O ponto de Chapman-Jouguet te mostra onde realmente começa a sua detonação. O ponto A representa o estado inicial do seu explosivo. O ponto C indica em qual estado de pressão e volume específico começa a reação. Veja que a pressão no ponto C, assim como a densidade de massa, é maior que a pressão e densidade do ponto B. Este pico de pressão e densidade é chamado de pico de vonNewman dentro do modelo ZND de
detonação (Zeldovich,von Neumann, Döring). Representa um pico curto e não descreve completamente a descarga de pressão. Frequentemente é ignorado, pois indica apenas a pressão inicial ao regime de choque, sendo a pressão e densidade do ponto B as realmente utilizadas na prática.

No ponto de Chapman-Jouguet os produtos da detonação possuem velocidade sônica. Conforme dita a teoria clássica de pequenas perturbações se deslocando em um meio adiabaticamente, ou seja, sem perder ou ganhar energia na forma de calor a cada interação, a velocidade sônica do meio corresponde a EDP:

\[
c^2= \Biggl(\frac{\partial p}{\partial \rho}\Biggr)_S
\]

A variável \(c\) é a velocidade do som e varia conforme o nível de pressão, \(p\), e a densidade do meio, \(\rho\). O subindice \(S\) indica que estamos lidando em um processo a entropia constante.
Agora, vamos voltar a equação da reta de Rayleigh do plano \(P − \nu\):

\[
p_1=j^2(\nu_0 – \nu_1)
\]
e observar que, considerando \(\nu_1\) como variável e \(\nu_0\) constante, a inclinação desta reta é:

Agora vamos aplicar uma pequena regra da cadeia:

Juntando tudo:

Da conservação de massa:

Substituindo:

A constatação acima diz que todo produto gerado após a reação possui velocidade menor
que a VOD, ou seja, não consegue enviar informação à frente de choque. Isso, de certa forma,
faz a reação autossustentada: é independente de qualquer informação ou interferência dos produtos gerados. Cabe agora tentar estimar a evolução e a transferência da pressão a partir do ponto de Chapman-Jouguet (PCJ ) já que a partir dele existe um regime de detonação. Podemos continuar assumindo a expansão a partir do ponto CJ como isentrópica, que é uma abordagem clássica, encontrada, por exemplo, em Persson, Holmberg e Lee (Rock Blasting and Explosives Engineering). Ou podemos usar alguma equação de estado como JWL (Jones-Wilkins-Lee) ou a BKW (Becker-Kistiakowsky-Wilson), para citar apenas duas.
Vamos pelo caminho clássico e continuar com uma expansão isentrópica:

\[
PV^\gamma = cte
\]

Linearizando:
\[
\begin{align*}
\ln(PV)^\gamma = cte
\\
\\
\ln(P) + \gamma \ln(V) =cte
\end{align*}
\]
Derivando:
\[
\begin{align*}
\frac{dP}{P} + \gamma\frac{dV}{V} = 0
\\
\frac{dP}{dV} = -\gamma\frac{P}{V}
\end{align*}
\]
Esta ultima equação corresponde a inclinação local da isentrópica no diagrama \(P – V\). No ponto CJ, temos:
\[
\Biggl(\frac{dP}{dV}\Biggr)_{CJ}=-\gamma\frac{P_{CJ}}{V_{CJ}}
\]
Agora, a inclinação da reta de Rayleigh no diagrama \(P- V\), dados dois estados iniciais e finais é:
\[
\begin{align*}
\frac{P_1 – P_0}{V_1-V_0}
\end{align*}
\]
Logo, pela condição de tangencia devemos ter:
\[
\begin{align*}
-\gamma\frac{P_{CJ}}{V_{CJ}} = \frac{P_{CJ} – P_0}{V_{CJ}-V_0}
\end{align*}
\]
Reorganizando e considerando que \(P_0 = 0\):
\[
\begin{align*}
-\gamma\frac{P_{CJ}}{V_{CJ}} = \frac{P_{CJ}}{V_{CJ}-V_0}
\
\gamma \frac{P_{CJ}}{V_{CJ}} = \frac{P_{CJ}}{V_0-V_{CJ}}
\
V_{CJ}(1+\gamma) = \gamma V_0
\
V_{CJ} = \frac{\gamma}{1+\gamma}V_0
\
\frac{V_{CJ}}{V_0} = \frac{\gamma}{1+\gamma}
\end{align*}
\]
E como \(\rho = \frac{1}{v}\) :
\[
\begin{align*}
\frac{\rho_{CJ}}{\rho_0} = \frac{V_0}{V_{CJ}} = \frac{\gamma + 1}{\gamma}
\
\rho_{CJ} = \rho_0 \frac{\gamma + 1}{\gamma}
\end{align*}
\]
Agora, na reta final, partimos da reta de Rayleigh:
\[
\begin{align*}
P_{CJ} = j^2(V_0-V_{CJ})
\\
P_{CJ} = \frac{D^2}{V_0^2}(V_0-\frac{\gamma}{1+\gamma}V_0)
\\
P_{CJ} = \frac{D^2}{V_0^2}\biggl(\frac{V_0}{\gamma + 1}\biggr)
\\
P_{CJ} = \frac{D^2}{V_0(\gamma + 1)}
\\
P_{CJ} = \frac{\rho_0 D^2}{\gamma + 1}
\end{align*}
\]
A partir daqui entram as simplificações comuns na engenharia. Para a maioria dos explosivos com \(\rho > 1g.cm^{-3}\), \(\gamma_{CJ} \approx 3\), que resulta em:
\[
\begin{align*}
P_{CJ} = \frac{\rho_0 D^2}{4}
\end{align*}
\]
Esta é a equação da estimativa da pressão de detonação. Ela possui uma boa aproximação quando o comportamento da detonação é muito próximo do ideal.

A pressão \(P_{CJ}\) pode ser encarada como um estado imediatamente após a iniciação do regime de detonação. A partir do estado definido pela \(P_{CJ}\) o meio pode sofrer uma pressão maior ou menor, dependendo das impedâncias. A princípio pode ser tentador utilizar a \(P_{CJ}\) e encarar a interação explosivo-rocha na interface como similar a um impacto entre dois materiais distintos. Como quando um projétil atinge uma chapa de um metal qualquer. Mas essa abordagem ignora a interação entre a rápida expansão dos gases e a resposta do meio a essa expansão, tratando-a como um esforço meramente pontual com um pico de pressão dado por \(P_{CJ}\).
Vejamos como Cooper (Explosives Engineering) trata essa questão, mas antes de mais nada, Cooper, ao invés de utilizar a equação simplificada da pressão de detonação no ponto CJ, utiliza um modelo empírico, oriundo de um best fitting de medições feitas de densidade inicial, VOD e \(P_{CJ}\) de 199 amostras de diversos explosivos. Foram diversas combinações de explosivos testadas: ANFO, TNT, Baratol, HMX, RDX, Pentolite, PETN, Composição B e muitos outros. Além de diversas densidades iniciais de uma mesma formulação. Cooper mediu diretamente a \(P_{CJ}\). Mas, mais do que isso, ele chegou a uma relação entre a densidade de massa no estado de CJ e a densidade inicial dos explosivos:

Depois, através de uma álgebra elementar com o uso das equações de Rankine para a conservação de massa e momento, juntou tudo:

Segundo Cooper, para os dados da época e comparando com os resultados de diversas EOS carregadas em códigos termodinâmicos disponíveis, o seu modelo de best fitting entregava resultados em média 5% diferentes dos resultados experimentais, enquanto os códigos carregados com alguma EOS entregavam um erro de 7% a 9%.
O passo natural seguinte seria comparar a Hugoniot dos estados possíveis dos produtos resultantes da detonação, a partir do estado CJ e considerando uma expansão isentrópica, com a Hugoniot característica do material que sofre o choque. Para o material da interface, pode-se usar a relação linear entre a velocidade de choque, \(U_s\) e a velocidade de partícula $u$, que é quase universal para materiais sólidos:

Os termos da equação são:

• \(U_s\) – velocidade de choque.
• \(c\) – velocidade sônica do meio.
• \(s\) – constante adimensional, que é característica de cada material.
• \(u\) – velocidade de partícula.

Esta equação é bem conhecida na seara da resistência dos materiais. Existem diversas tabelas disponíveis para valores de \(c\) e \(s\). Você pode encontrar Hugoniots para algumas rochas na famosa e histórica publicação dos laboratórios de Los Alamos e no pequeno paper de 1961 da Universidade da California. Ambos são de acesso livre.

Combinando com a equação de Rankine para a conservação de momento:

O próximo passo seria comparar as duas Hugoniots em um diagrama \(P-u\) e observar o ponto de interseção onde as pressões e as velocidades de partícula se igualam. Mas o problema é justamente encontrar a Hugoniot dos produtos em expansão isentrópica a partir do ponto de CJ. Isso só é possível através de códigos termodinâmicos alimentados coma alguma EOS, como a equação de estado de Jones-Wilkins-Lee (JWL), ou BKW (Becker-Kistiakowsky-Wilson) ou qualquer outra (menos $PV=nRT$, por favor!).
Para contornar essa situação, Cooper mostra um estudo onde diversos materiais foram submetidos a detonação da mesma quantidade de um explosivo, cujo ponto CJ é conhecido, e os valores de estado \(P-u\) são plotados. O fitting destes dados mostrou uma forte correlação em dois setores:

\[
\frac{P}{P_{CJ}}= 2,412 – 1,7315\biggl(\frac{u}{u_{CJ}}\biggr) + 0,3195\biggl(\frac{u}{u_{CJ}}\biggl)^2
\]

Para valores de pressão reduzida, \(\frac{P}{P_{CJ}}\) acima de 0,08, atingindo um coeficiente de correlação de 0,987. E a equação:

\[
\frac{P}{P_{CJ}}=235\biggl(\frac{u}{u_{CJ}}\biggr)^{-8,71}
\]

Para valores de pressão reduzida \(\frac{P}{P_{CJ}} < 0,08\), atingindo um coeficiente de correlação de 0,898.
Os coeficientes destas duas expressões estão calibrados para as entradas de velocidade em \(km/s\), densidade em \(g/cm^3\) e pressão em \(GPa\).
Com estas duas equações, pode-se estimar uma Hugoniot para os produtos em expansão conhecendo-se a VOD, a pressão no ponto CJ e a densidade inicial do explosivo. Por exemplo, para um explosivo qualquer com os seguintes valores:

teríamos uma velocidade de partícula \(u_{CJ}\), obtida pela equação de Rankine dada pela conservação de momento:

Substituindo este valor de velocidade de partícula, conjuntamente com os valores de VOD e densidade:

Esta última expressão é a sua Hugoniot dos produtos em expansão para o seu explosivo específico.
Agora, imagine que temos um material em contato com este explosivo com as seguintes características:

Isso nos fornece um sistema formado pelas duas Hugoniots:

Para encontrar a solução basta igualar as pressões e resolver para \(u\), trivial. No nosso caso em particular equivale a encontrara as raízes de:

O gráfico abaixo mostra a plotagem das duas curvas Hugoniots, o ponto CJ do explosivo e a interseção das duas curvas.

No ponto \(A\) temos \((P_A;u_A) \approx (10,4GPa;0,62km.s^{-1})\).
Já no ponto CJ temos \((P_{CJ};u_{CJ}) \approx (6,4GPa;1,23km.s^{-1})\).
Veja que o explosivo “entrega” imediatamente à interface \( 6,4GPa\), mas o meio responde com uma pressão de \(10,4GPa\), porém ao custo de uma diminuição considerável de velocidade de partícula.
Esse aumento, ou diminuição, da pressão em comparação ao ponto de CJ se deve a diferença entre as impedâncias do meio e do explosivo.
No nosso exemplo anterior, temos as seguintes impedâncias:

E sempre que a impedância do meio for maior, a pressão entregue será maior. No outro caso, se a impedância do meio for menor que a do explosivo, a pressão efetiva entregue será menor. A relação inversa vale para a velocidade de partícula: maior impedância do meio em relação ao explosivo, menos velocidade de partícula e vice-versa. Nos raríssimos casos onde as impedâncias se igualam, fisicamente o sistema não “enxerga” a interface e o contato explosivo-rocha é tratado como um meio contínuo. Neste caso, não temos um reflexão de onda para dentro do furo, que é o que acontece no caso de impedâncias distintas, mas a total transferência de energia do explosivo à rocha.
Agora, voltemos a equação Hugoniot dos sólidos aplicada ao nosso exemplo em particular:

Neste regime, no inicio da interface explosivo-rocha, a velocidade da onda de choque no material é muito maior que sua velocidade sônica, fato que, de certa forma, caracteriza um regime de choque.
É provável que enquanto durar o regime de choque (apenas a alguns metros ou centímetros de distância da carga explosiva) o material sofra algum nível de pulverização. Após isso, o regime de choque atenua para meras propagações mecânicas, ou seja, ondas de tensão. E isso é uma das razões por que você não deve dizer que as captações sismográficas realizadas a dezenas ou centenas de metros do seu desmonte estão captando “ondas de choque”.
O modelo desenvolvido aqui utiliza relações empíricas obtidas de dados de laboratório para circunavegar o oceano de dificuldade para a obtenção tanto da Hugoniot do material circundante ao explosivo quanto do próprio explosivo. É uma aproximação bastante razoável e serve para mostrar que a relação entre explosivo-rocha é mais importante no estudo do problema do que simplesmente os estados obtidos no ponto de Chapman-Jouguet. Observe, por exemplo, que se você deseja calibrar algum modelo preditivo de previsões de vibrações, os resultados de velocidade de partícula aqui obtidos são um bom “chute” inicial. E a pressão CJ, por ela mesma, não significa muita coisa no que diz respeito ao controle de vibrações. Se, por exemplo, você tem dados de campo próximo para um modelo clássico baseado em distância escalonada, pode inferir outros coeficiente de atenuação e propagação desde a interface explosivo-rocha até o seu ponto de medição em campo próximo.
Para simulação mais precisas, devemos considerar a detonação como um fluxo em 3D (não em 1D, como fizemos) e para os sólidos da interface, talvez o uso da equação de estado de Mie-Gruneisen apresente resultados mais precisos.
Fato é que o começo da iteração explosivo-rocha alimenta o caminho da energia. por exemplo, em rochas com comportamento fragil, talvez o regime de choque seja muito mais seu amigo na busca da fragmentação ótima. Adequar tempo e malha para otimizar o regime de choque é uma boa estratégia. Por outro lado, se existem mecanismos dissipativos fortes atuantes, como vesiculas ou outras condições que possam ocasionar uma atenuação significativa do regime de choque, talvez o mecanismo de ruptura por flexão, ou seja, aproveitar melhor o trabalho de expansão dos produtos resultantes seja a melhor estratégia e adequar sua malha e temporização para tal comportamento pode ser bastante produtivo.
Espero que eu tenha mostrado que o desmonte de rochas é muito mais do que frases cheias de clichês e jargões. Existe muita física e engenharia por trás. Isto que aqui está, neste pequeno texto, é apenas a ponta do iceberg. Em textos futuros vamos partir dos pontos aqui explorados e entrar nas teorias de fragmentação, crateramento e detonações de cargas desacopladas. Vamos precisar destas bases, mas do jeito que aqui estão, com as visceras expostas as críticas.
Valeu!