{"id":193,"date":"2023-10-09T17:19:20","date_gmt":"2023-10-09T20:19:20","guid":{"rendered":"https:\/\/golin.dev.br\/site\/?p=193"},"modified":"2024-08-23T18:56:57","modified_gmt":"2024-08-23T21:56:57","slug":"muito-alem-da-carga-especifica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/golin.dev.br\/site\/2023\/10\/09\/muito-alem-da-carga-especifica\/","title":{"rendered":"Muito al\u00e9m da carga espec\u00edfica."},"content":{"rendered":"\n

A teoria do desmonte de rochas esta em sua maioria apoiada em rela\u00e7\u00f5es geom\u00e9trica e algumas an\u00e1lises estat\u00edsticas de pequenos experimentos. Os c\u00e2nones da arte de fragmentar rochas ainda n\u00e3o foram completamente observados. \u00c9 curioso perceber que na grande maioria dos textos introdut\u00f3rios n\u00e3o existe um paragrafo para introduzir, mesmo numa forma inquisidora ou em afirma\u00e7\u00f5es, a tentativa de responder a simples pergunta do porque as coisas quebram. Para mim parece inevit\u00e1vel que o reflexo da quebra da rocha pela a\u00e7\u00e3o de explosivos tem suas bases oriundas nas regras que regem o comportamento at\u00f4mico, tal como na termodin\u00e2mica cl\u00e1ssica onde as vari\u00e1veis de estado refletem comportamentos microsc\u00f3picos. Alguns textos tentam apontar para um poss\u00edvel amalgama entre a teoria da fratura, tal como a proposta por Griffith e aprimorada por outros,<\/a> e a a\u00e7\u00e3o dos explosivos. Mas o fato \u00e9 que a tentativa da jun\u00e7\u00e3o de uma teoria f\u00edsico-matem\u00e1tica mais elaborada ao problema do desmonte de rochas n\u00e3o \u00e9 uma tarefa que possa conduzir de imediato a um entendimento maior do fen\u00f4meno. Existe a necessidade da confirma\u00e7\u00e3o em laborat\u00f3rio dos resultados te\u00f3ricos, caso contr\u00e1rio, assumimos o risco de conduzir a teoria ao caos da guerra de opini\u00f5es. Muitos estudos baseados em dados n\u00e3o conseguem a pureza e o embasamento necess\u00e1rios para saltar a barreira do ad hoc<\/em>. Ainda estamos longe de uma poss\u00edvel uni\u00e3o da teorias mostradas na figura.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

E todo este texto introdut\u00f3rio um pouco rebuscado \u00e9 minha maneira de te avisar que o desenvolvimento matem\u00e1tico que vem a seguir carrega dois grandes avisos luminosos.
O primeiro \u00e9 que a teoria apresentada tem seu conte\u00fado completamente imerso no conjunto das rela\u00e7\u00f5es geom\u00e9tricas presentes na teoria do desmonte atual. Mas, o racioc\u00ednio lan\u00e7a alguma luz no caminho das outras teorias do outro lado da ponte.
Segundo, a matem\u00e1tica \u00e9 a caixa de ferramentas que temos para tentar entender o universo. Entend\u00ea-la \u00e9 compreender como funciona a ferramenta, n\u00e3o necessariamente o parafuso que ela aperta. Como dizem os orientais, n\u00e3o confunda a lua com o dedo que a aponta. N\u00e3o \u00e9 porque algo tem sentido pleno quando aplicado aos rigores do c\u00e1lculo que representa fielmente o mundo l\u00e1 fora. Tenha cuidado. Estou apenas apontando uma dire\u00e7\u00e3o, n\u00e3o estou te mostrando o trajeto perfeito.<\/p>\n\n\n\n

A modelagem a seguir visa tentar entender como a distribui\u00e7\u00e3o da massa explosiva sobre um volume de rocha pode ser simulada. A partir do desenvolvimento apresentado voc\u00ea poder\u00e1 seguir para a constru\u00e7\u00e3o de algoritmos de busca, otimiza\u00e7\u00e3o ou mesmo implementar alguns modelos de soft computing<\/em> para otimizar seu desmonte ou encontrar novas configura\u00e7\u00f5es poss\u00edveis. Vamos come\u00e7ar olhando de uma maneira diferente para a carga espec\u00edfica.<\/p>\n\n\n\n

A carga espec\u00edfica \u00e9 um dos par\u00e2metros que muitos usam para projetar desmontes. Um termo muito usado como sin\u00f4nimo, e sintaticamente equivocado, \u00e9 raz\u00e3o de carga. Sinto causar desapontamento a voc\u00ea que usa o termo raz\u00e3o de carga a muitos anos, mas uma raz\u00e3o para ser chamada como tal, precisa ser calculada em unidades iguais. Por exemplo, ma\u00e7\u00e3s por ma\u00e7as, metro por metro, quil\u00f4metros por quil\u00f4metros etc. Massa de explosivos por volume de rocha retorna uma unidade de massa por volume, que n\u00e3o \u00e9 em absoluto uma quantidade adimensional. Veja que a massa de explosivos dividida pela massa de rocha \u00e9 uma raz\u00e3o! Isto te d\u00e1 uma chance de se redimir. Para sermos corretos dever\u00edamos utilizar o termo raz\u00e3o de carga apenas quando dividirmos a massa de explosivos pela massa de rocha ou o volume de explosivos pelo volume de rocha. Por estes motivos, mesmo que eles formem um vetor na dire\u00e7\u00e3o do preciosismo, no texto a seguir utilizaremos a carga espec\u00edfica para designar a unidade \\(kg\/m^3\\) .<\/p>\n\n\n\n

Os furos onde colocamos cargas explosivas podem ser modelados como um cilindro. Sem muito medo podemos representar o volume de um furo como<\/p>\n\n\n\n

\\(v= h \\pi r^2 = h \\pi \\left(\\frac{D}{2}\\right)^2 = \\frac{h \\pi D^2}{4}\\)<\/p>\n\n\n\n

A vari\u00e1vel \\(h\\) \u00e9 a altura e \\(D\\) o di\u00e2metro. Utilizarei o di\u00e2metro ao inv\u00e9s do raio para manter a discuss\u00e3o dentro do fraseado comum ao nosso dia a dia. N\u00e3o te perguntam com que “raio” voc\u00ea vai perfurar, mas com que di\u00e2metro.
A quantidade de explosivos que voc\u00ea coloca dentro do furo tem, grosso modo, duas densidades que podem ser consideras. A primeira \u00e9 a densidade de massa da subst\u00e2ncia. Uma grandeza quimicamente definida. \u00c9 intr\u00ednseca \u00e0 formula\u00e7\u00e3o qu\u00edmica do explosivo. Aquela que voc\u00ea encontra nos cat\u00e1logos dos fabricantes. A outra densidade, que \u00e9 aquela que nos interessa, diz respeito a quanto explosivo voc\u00ea consegue colocar em um furo. Eu chamo esta densidade de densidade de carregamento. Nos encartuchados a densidade de massa e a de carregamento podem apresentar valores muito diferentes. Para emuls\u00e3o bombeada nem se fala. Aquelas que s\u00e3o gaseificadas quimicamente apresentam uma densidade de massa que \u00e9 em parte fun\u00e7\u00e3o do confinamento da massa. Partes do fundo do furo ser\u00e3o mais densas que partes pr\u00f3ximas ao tamp\u00e3o. Emuls\u00f5es sensibilizadas com microbal\u00f5es tendem a sentir menos este efeito. Em NCN’s e similares a densidade de massa e a densidade de carregamento possuem praticamente o mesmo valor. Voc\u00ea pode encontrar a densidade m\u00e9dia de carregamento observando quanta massa de explosivo voc\u00ea coloca em um determinado comprimento de furo, observando que a densidade de carregamento (\\(\\rho)\\) \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\rho = \\frac{m}{v} = \\frac{m}{\\frac{h \\pi D^2}{4}} = \\frac{m}{h}\\frac{4}{\\pi D^2}\\)<\/p>\n\n\n\n

O termo \\(\\frac{m}{h}\\) representa em m\u00e9dia quanta massa de explosivos voc\u00ea usa para preencher um metro de furo com di\u00e2metro \\(D\\). \u00c9 o n\u00famero que a galera usa para calcular a quantidade de explosivos de um desmonte quando o numero de furos e a quantidade de perfura\u00e7\u00e3o \u00e9 conhecida. Vamos cham\u00e1-lo de \\(R_l\\). <\/p>\n\n\n\n

\\(\\rho = \\frac{4 R_l}{\\pi D^2} \\rightarrow R_l = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4}\\)<\/p>\n\n\n\n

A equa\u00e7\u00e3o acima vai te ajudar a encontrar a densidade de carregamento que voc\u00ea precisa.
Agora vamos ao volume. A esmagadora maioria usa afastamento x espa\u00e7amento x altura<\/em>. N\u00e3o vou por esse caminho. Vamos apenas concordar que podemos representar este volume como:<\/p>\n\n\n\n

\\(V = A H\\)<\/p>\n\n\n\n

A vari\u00e1vel \\(A\\) representa a \u00e1rea e \\(H\\) a altura. A \u00e1rea pode ser uma fun\u00e7\u00e3o qualquer. Por enquanto representa \u00e1rea que \u00e9 destinada a um furo do nosso desmonte. Agora precisamos definir o que entendemos por altura. Veja a figura abaixo.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Para a densidade de carregamento, a altura de carga explosiva \u00e9 \\(h-t\\). Aqui \\(s\\) \u00e9 a sub-fura\u00e7\u00e3o. Eu ia deix\u00e1-la de fora, mas resolvi incluir no modelo para n\u00e3o assustar muito o pessoal ortodoxo. O volume de rocha fica <\/p>\n\n\n\n

\\(V=A(h-s)\\)<\/p>\n\n\n\n

A sub-fura\u00e7\u00e3o \u00e9 o chorinho de wiskey que voc\u00ea d\u00e1 para remover o volume.
Agora vamos juntar tudo e formar nossa fun\u00e7\u00e3o carga espec\u00edfica, \\(c\\):<\/p>\n\n\n\n

\\(c = \\frac{m}{V} = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\frac{h-t}{h-s}\\,\\,\\, ;\\,\\,\\, c\\rightarrow c(\\rho,D,A,h,s,t)\\)<\/p>\n\n\n\n

Por que fizemos de \\(c\\) uma fun\u00e7\u00e3o de 6 vari\u00e1veis? Veja, consideramos \\(\\rho,D,A,h,s,t\\) at\u00e9 agora como independentes, ou seja, podemos escolher quaisquer valores desde que tornem \\(c\\) v\u00e1lida. Escolher o di\u00e2metro n\u00e3o aletra a escolha ou o valor da \u00e1rea, por exemplo. Depois veremos como v\u00ednculos ou restri\u00e7\u00f5es alteram nossa fun\u00e7\u00e3o \\(c\\) e as rela\u00e7\u00f5es de depend\u00eancia entre as vari\u00e1veis, mas por enquanto admita que as seis vari\u00e1veis s\u00e3o independentes. Fazendo isso, qualquer m\u00e9todo de busca ou otimiza\u00e7\u00e3o restringe-se aos valores que as seis vari\u00e1veis podem assumir. Desta maneira \\(c = constante\\) representa uma curva de n\u00edvel para um espa\u00e7o de 6 dimens\u00f5es. N\u00e3o consigo desenhar um gr\u00e1fico 6D para voc\u00ea visualizar. Voc\u00ea vai precisar invocar a sua capacidade de abstra\u00e7\u00e3o. <\/p>\n\n\n\n

A primeira constata\u00e7\u00e3o ao se bater o olho em \\(c\\) \u00e9 que se voc\u00ea projetar uma sub-fura\u00e7\u00e3o com o mesmo comprimento do tamp\u00e3o sua carga espec\u00edfica n\u00e3o se altera. De fato se \\(s=t \\rightarrow h-s = h-t\\) ent\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

\\(c =\\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\frac{h-t}{h-s}=\\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}(1) = \\frac{R_l}{A} = c_0\\)<\/p>\n\n\n\n

Legal, achamos um ponto not\u00e1vel. A carga espec\u00edfica para uma \u00e1rea por furo \\(A\\), um di\u00e2metro \\(D\\) e uma densidade de carregamento do explosivo de \\(\\rho\\), aumenta ou diminui a partir de um valor inicial \\(c_0\\) dado pela equa\u00e7\u00e3o acima. Ou, melhor dizendo, \\(c\\) vai se alterando conforme vamos acrescentando ou removendo sub-fura\u00e7\u00e3o e\/ou tamp\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

Queremos saber como a carga espec\u00edfica varia em fun\u00e7\u00e3o de todas as suas vari\u00e1veis. Imagine que estamos com um volume irregular de rocha para desmontar ou mesmo precisamos simular diversas possibilidades de alturas de bancadas e queremos entender como a distribui\u00e7\u00e3o da carga explosiva se altera quando provocamos mudan\u00e7as nas 6 vari\u00e1veis da nossa fun\u00e7\u00e3o \\(c\\).
Uma abordagem poss\u00edvel seria j\u00e1 a queima roupa calcular o gradiente de \\(c\\) considerando as 6 vari\u00e1veis independentes:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\nabla c = \\frac{\\partial c}{\\partial \\rho} \\hat{\\rho} +
\\frac{\\partial c}{\\partial D} \\hat{D} +
\\frac{\\partial c}{\\partial A} \\hat{A} +
\\frac{\\partial c}{\\partial h} \\hat{h} +
\\frac{\\partial c}{\\partial s} \\hat{s} +
\\frac{\\partial c}{\\partial t} \\hat{t}\\)<\/p>\n\n\n\n

Seria muito legal agora se voc\u00ea conseguisse n\u00e3o ter uma interpreta\u00e7\u00e3o puramente geom\u00e9trica do vetor gradiente da equa\u00e7\u00e3o acima.
Vamos calcular termo a termo.<\/p>\n\n\n\n

\\(\\frac{\\partial c}{\\partial \\rho} = \\frac{\\pi D^2}{4A}\\frac{(h-t)}{(h-s)}=\\frac{c_0}{\\rho}\\frac{(h-t)}{(h-s)}\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial D} = \\frac{D \\rho \\pi}{2A}\\frac{(h-t)}{(h-s)}=\\frac{2c_0}{D}\\frac{(h-t)}{(h-s)}\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial A} = -\\frac{\\rho \\pi D^2}{4A^2}\\frac{(h-t)}{(h-s)}=-\\frac{c_0}{A}\\frac{(h-t)}{(h-s)}\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial h} = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4A(h-s)}\\left(1-\\frac{h-t}{h-s}\\right)=\\frac{c_0}{(h-s)}\\left(1-\\frac{h-t}{h-s}\\right)\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial s} = \\frac{\\rho \\pi D^2 (h-t)}{4A(h-s)^2}=c_0\\frac{h-t}{(h-s)^2}\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial t} = -\\frac{\\rho \\pi D^2}{4A(h-s)}=-\\frac{c_0}{h-s}\\)<\/p>\n\n\n\n

Juntando tudo

\\(\\nabla c = \\frac{c_0}{\\rho}\\frac{(h-t)}{(h-s)} \\hat{\\rho} +
\\frac{2c_0}{D}\\frac{(h-t)}{(h-s)}\\hat{D}
-\\frac{c_0}{A}\\frac{(h-t)}{(h-s)}\\hat{A}
+\\frac{c_0}{(h-s)}\\left(1-\\frac{h-t}{h-s}\\right)\\hat{h}
+c_0\\frac{h-t}{(h-s)^2}\\hat{s}
-\\frac{c_0}{h-s}\\hat{t}
\\)<\/p>\n\n\n\n

Ainda, podemos simplificar e obter:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\nabla c = c_0\\frac{(h-t)}{(h-s)}\\left[\\frac{1}{\\rho}\\hat{\\rho} + \\frac{2}{D}\\hat{D} -\\frac{1}{A}\\hat{A} + \\frac{1}{(h-t)}\\left(1 – \\frac{h-t}{h-s}\\right)\\hat{h} + \\frac{1}{(h-s)}\\hat{s} -\\frac{1}{(h-t)}\\hat{t}\\right]\\)<\/p>\n\n\n\n

Olhe a ultima equa\u00e7\u00e3o e lembre-se da defini\u00e7\u00e3o de gradiente. Fica muito claro, a partir de uma carga espec\u00edfica definida em um ponto \\((\\rho_0,D_0,A_0,h_0,s_0,t_0)\\) o vetor \\(\\nabla c\\) mostra a “dire\u00e7\u00e3o” em que a carga espec\u00edfica sofre a m\u00e1xima varia\u00e7\u00e3o. Duas observa\u00e7\u00f5es aqui. Coloquei versores para indicar quem \u00e9 quem no vetor. O objetivo \u00e9 facilitar o entendimento para quem est\u00e1 um pouco enferrujado no c\u00e1lculo, achei melhor do que colocar coordenadas do tipo \\(e_0,e_1\u2026e_n\\).
Por dire\u00e7\u00e3o n\u00e3o entenda algo como um caminho no sentido de trajet\u00f3ria em um mundo 3D. Talvez o conceito de dire\u00e7\u00e3o fique mais claro com o exemplo a seguir.<\/p>\n\n\n\n

Seu desmonte contempla uma altura de \\(13,5m\\) com furos de di\u00e2metro \\(3”\\). Suponha que todas as suas vari\u00e1veis assumam estes valores:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\rho = 1000kg\/m^3
\\\\
A = 7m^2
\\\\
D = 3”= 0,076m
\\\\
h = 13m
\\\\
t = 1,5m
\\\\
s = 0,5m\\)<\/p>\n\n\n\n

O calculo de \\(c_0\\) retorna \\(c\\approx0,6481 kg\/m^3\\) e o gradiente, \\(\\nabla c\\), neste ponto \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\nabla c = 0,6481\\frac{13-1,5}{13-0,5}\\left[\\frac{1}{1000}\\hat{\\rho} + \\frac{2}{0,076}\\hat{D}-\\frac{1}{7}\\hat{A}+\\frac{1}{(13-1,5)}\\left(1 – \\frac{13-1,5}{13-0,5}\\right)\\hat{h}+\\frac{1}{(13-0,5)}\\hat{s} -\\frac{1}{(13-1,5)}\\hat{t}\\right]
\\\\
\\nabla c = 0,000596\\hat{\\rho} + 15,690\\hat{D} – 0,085174\\hat{A} + 0,0041476\\hat{h} + 0,047698\\hat{s}-0,051845\\hat{t}\\)<\/p>\n\n\n\n

Aproveitamos o embalo e calculamos o m\u00f3dulo \\(|\\nabla c|\\)<\/p>\n\n\n\n

\\(|\\nabla c| = \\sqrt{(0,000596)^2 + (15,690)^2 + (-0,085174)^2 + (0,0041476)^2 + (0,047698)^2 +(-0,051845)^2}
\\\\
|\\nabla c| \\approx 15,690kg\/m^3\\)<\/p>\n\n\n\n

Vamos interpretar fisicamente estes n\u00fameros. O vetor gradiente diz que se voc\u00ea estiver nesta configura\u00e7\u00e3o de desmonte, voc\u00ea vai produzir mais varia\u00e7\u00e3o da carga espec\u00edfica se alterar o di\u00e2metro do que qualquer outra vari\u00e1vel. Veja que o “peso” do di\u00e2metro no vetor \u00e9 muito maior que o das outras vari\u00e1veis. Se voc\u00ea aumentar a componente da \u00e1rea por furo (malha) ou o tamp\u00e3o voc\u00ea vai diminuir \\(c\\) e vice-versa. Observe que a contribui\u00e7\u00e3o da densidade do explosivo \u00e9 muito menor que a do di\u00e2metro. Isto significa que para aumentar ou diminuir \\(c\\) \u00e9 muito mais eficiente alterar o di\u00e2metro do que a densidade do explosivo.<\/p>\n\n\n\n

Os componentes de \\(\\nabla c\\) nos mostram que o di\u00e2metro do furo produz varia\u00e7\u00f5es de \\(c\\) em uma escala muito maior do que as outras vari\u00e1veis. Se queremos mudan\u00e7as bruscas, brincamos com \\(D\\). Se \u00e9 necess\u00e1rio um ajuste fino deixamos \\(D\\) quietinho e vamos alterando as outras vari\u00e1veis.
O m\u00f3dulo do gradiente te diz qual ser\u00e1 a maior taxa de varia\u00e7\u00e3o poss\u00edvel para nossa fun\u00e7\u00e3o \\(c\\). Qualquer “sentido” que tomarmos, por exemplo, somente na dire\u00e7\u00e3o da altura e tamp\u00e3o, a taxa de varia\u00e7\u00e3o da carga espec\u00edfica ser\u00e1 menor que o m\u00f3dulo do gradiente.<\/p>\n\n\n\n

Voc\u00ea pode utilizar o conceito de derivada direcional para montar sistemas baseados nas equa\u00e7\u00f5es do gradiente. Por exemplo, para quais valores de tamp\u00e3o e altura de perfura\u00e7\u00e3o \\(c\\) varia a uma taxa constante? Essa pergunta \u00e9 matematizada com a ajuda de um vetor<\/p>\n\n\n\n

\\(\\vec{v} = x\\hat{h} + y\\hat{t}\\)<\/p>\n\n\n\n

Em que \\(x\\) representa a altera\u00e7\u00e3o de altura e \\(y\\) a altera\u00e7\u00e3o de tamp\u00e3o. Fazendo<\/p>\n\n\n\n

\\(\\nabla_{\\vec{v}} c = \\nabla c \\cdot \\frac{\\vec{v}}{|\\vec{v}|}\\)<\/p>\n\n\n\n

projetamos as componentes necess\u00e1rias do gradiente sobre a o vetor \\(\\vec{v}\\).<\/p>\n\n\n\n

Em textos futuros vou te mostrar como escrever algoritmos para buscas e otimiza\u00e7\u00f5es utilizando computa\u00e7\u00e3o evolutiva e algumas meta heur\u00edsticas aplicadas no dom\u00ednio de \\(c\\).
Como uma pequena demonstra\u00e7\u00e3o, vejamos um exemplo simples de como extrair informa\u00e7\u00f5es correlacionadas a carga espec\u00edfica, deixando a abordagem computacional para outra ocasi\u00e3o.
Vamos considerar que \\(s\\) n\u00e3o pode ser livremente escolhida. N\u00e3o podemos fazer a sub-fura\u00e7\u00e3o infinitamente grande. N\u00e3o faz sentido. Sua efic\u00e1cia vai at\u00e9 um limite. N\u00e3o adianta perfurar a mais indefinidamente achando que isso vai te ajudar. Chegar\u00e1 um ponto em que qualquer incremento de carga n\u00e3o ter\u00e1 efeito sobre a cota de corte que voc\u00ea quer. Para nosso caso, diremos que \\(s\\) depende da \u00e1rea do furo, \\(s\\rightarrow s(A)\\).
Tamb\u00e9m faremos o tamp\u00e3o uma fun\u00e7\u00e3o da altura de corte, assim \\(t\\rightarrow t(h)\\). O por qu\u00ea disso j\u00e1 vai ficar claro.
Com estas modifica\u00e7\u00f5es \\(c\\) fica:<\/p>\n\n\n\n

\\(c =\\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\frac{h-t(h)}{h-s(A)}\\)<\/p>\n\n\n\n

Agora, vejamos como \\(c\\) se altera quando brincamos com a altura \\(h\\)<\/p>\n\n\n\n

\\(\\frac{\\partial c}{\\partial h} = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\frac{d}{dh}\\frac{h-t(h)}{h-s}
\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial h}=\\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\left( \\frac{(1-\\frac{d}{dh}t(h))(h-s) – (h-t(h))} {(h-s)^2}\\right)
\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial h}=\\frac{\\rho \\pi D^2}{4A(h-s)^2}\\left( (1-\\frac{d}{dh}t(h))(h-s) – (h-t(h))\\right)
\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial h}\\frac{4A(h-s)^2}{\\rho \\pi D^2}=\\left( (1-\\frac{d}{dh}t(h))(h-s) – (h-t(h))\\right)
\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial h}\\frac{4A(h-s)^2}{\\rho \\pi D^2}= h-s-\\frac{d}{dh}t(h)(h-s) – h+t(h)
\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial h}\\frac{4A(h-s)^2}{\\rho \\pi D^2}= -s-\\frac{d}{dh}t(h)(h-s) + t(h)
\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial h}\\frac{4A(h-s)^2}{\\rho \\pi D^2} + s= -\\frac{d}{dh}t(h)(h-s) + t(h)
\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial h}\\frac{4A(h-s)^2}{\\rho \\pi D^2 (h-s)} + \\frac{s}{(h-s)}= -\\frac{d}{dh}t(h) + \\frac{t(h)}{(h-s)}
\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial h}\\frac{4A(h-s)}{\\rho \\pi D^2} + \\frac{s}{(h-s)}= -\\frac{d}{dh}t(h) + \\frac{t(h)}{(h-s)}
\\\\
\\frac{d}{dh}t(h) – \\frac{t(h)}{(h-s)} = -\\frac{\\partial c}{\\partial h}\\frac{4A(h-s)}{\\rho \\pi D^2} – \\frac{s}{(h-s)}\\)<\/p>\n\n\n\n

Como \\(s\\) depende somente de \\(A\\) tratamos ela como constante quando diferenciando em rela\u00e7\u00e3o a \\(h\\). Fiz o algebrismo da maneira mais did\u00e1tica poss\u00edvel. Aqui n\u00e3o temos preocupa\u00e7\u00e3o com n\u00famero de p\u00e1ginas.<\/p>\n\n\n\n

Se n\u00e3o queremos que \\(c\\) varie com o tamp\u00e3o e com qualquer outra vari\u00e1vel, ent\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

\\(\\frac{d}{dh}t(h) = 0
\\\\
\\frac{\\partial c}{\\partial h} = 0\\)<\/p>\n\n\n\n

e a equa\u00e7\u00e3o diferencial que deduzimos se torna<\/p>\n\n\n\n

\\(-\\frac{t(h)}{(h-s)} = – \\frac{s}{(h-s)}
\\\\
t(h) = s\\)<\/p>\n\n\n\n

Chegamos a mesma conclus\u00e3o que antes. Fa\u00e7a o tamp\u00e3o igual a sub-fura\u00e7\u00e3o que \\(c\\) n\u00e3o vai variar.
Mas fazer \\(t(h) = s\\) n\u00e3o \u00e9 a \u00fanica maneira de fazer \\(c\\) constante quando se varia a altura. Podemos nos perguntar se existem valores de \\(t\\) que mant\u00eam \\(c\\) inalterada conforme a altura varia. Ou, em equivalente linguagem matem\u00e1tica:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\frac{d}{dh}t(h) – \\frac{t(h)}{(h-s)} = -0\\frac{4A(h-s)}{\\rho \\pi D^2} – \\frac{s}{(h-s)}
\\\\
\\frac{d}{dh}t(h) – \\frac{t(h)}{(h-s)} + \\frac{s}{(h-s)} = 0\\)<\/p>\n\n\n\n

Resolvendo esta \u00faltima ED podemos encontrar os valores de \\(t\\) que quando aplicado em fun\u00e7\u00e3o da altura mantem a carga espec\u00edfica constante.
Lembre l\u00e1 de calculo 3 que voc\u00ea aprendeu um neg\u00f3cio chamado fator integrante. N\u00e3o vou abrir um parenteses para explicar, mas pode conferir aqui<\/a>. Calculando o fator interante<\/p>\n\n\n\n

\\(FI = e^{-\\int\\frac{1}{(h-s)}} = \\frac{1}{(h-s)}\\)<\/p>\n\n\n\n

odemos transformar nossa ED em uma equa\u00e7\u00e3o separ\u00e1vel multiplicando o FI em ambos os lados:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\frac{d}{dh}t(h)\\frac{1}{(h-s)} – \\frac{t(h)}{(h-s)}\\frac{1}{(h-s)}= – \\frac{s}{(h-s)}\\frac{1}{(h-s)}
\\\\
\\frac{d}{dh}t(h)\\frac{1}{(h-s)} – \\frac{t(h)}{(h-s)^2}= – \\frac{s}{(h-s)^2}
\\\\
\\frac{d}{dh}\\frac{t(h)}{h-s} = – \\frac{s}{(h-s)^2}\\)<\/p>\n\n\n\n

Agora ficou f\u00e1cil, veja:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\frac{d}{dh}\\frac{t(h)}{h-s} = – \\frac{s}{(h-s)^2}
\\\\
\\frac{t(h)}{h-s} = – \\int \\frac{s}{(h-s)^2}dh
\\\\
\\frac{t(h)}{h-s} = \\frac{s}{h-s} +Cte
\\\\
t(h) = s + Cte(h-s)\\)<\/p>\n\n\n\n

Lembrando que partimos de uma configura\u00e7\u00e3o inicial, como no nosso \\(c_0\\), aqui tamb\u00e9m temos um tamp\u00e3o inicial associado a uma altura inicial, \\((t_0;h_0)\\).<\/p>\n\n\n\n

\\(t_0 = s + Cte(h_0-s) \\rightarrow Cte = \\frac{t_0-s}{h_0-s}
\\\\
t(h) = s + (t_0-s)\\frac{(h-s)}{h_0-s}\\)<\/p>\n\n\n\n

Essa equa\u00e7\u00e3o acima, que representa uma reta, diz que se voc\u00ea calcular o tamp\u00e3o por ela \\(c\\) vai permanecer constante. Vamos verificar.
Come\u00e7amos com uma configura\u00e7\u00e3o assim:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\rho = 1000kg\/m^3
\\\\
A = 7m^2
\\\\
D = 3”= 0,076m
\\\\
h_0 = 10m
\\\\
t_0 = 1,5m
\\\\
s = 0,5m\\)<\/p>\n\n\n\n

E fazendo o tamp\u00e3o obedecer \\(t(h) = s + (t_0-s)\\frac{(h-s)}{h_0-s}\\) obtemos a tabelinha abaixo<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Obviamente, seguir a regra de tamp\u00e3o obtida pode n\u00e3o ter muito sentido na pr\u00e1tica. Se a inclina\u00e7\u00e3o da reta da equa\u00e7\u00e3o do tamp\u00e3o for muito acentuada, pequenas varia\u00e7\u00f5es na altura de corte produzir\u00e3o grandes varia\u00e7\u00f5es na
altura do tamp\u00e3o e mesmo que a carga espec\u00edfica permane\u00e7a constante, isto pode afetar significativamente a qualidade do desmonte.
Perceba que voc\u00ea pode substituir a equa\u00e7\u00e3o do tamp\u00e3o na defini\u00e7\u00e3o de \\(c\\):<\/p>\n\n\n\n

\\(c = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\frac{h-t}{h-s}
\\\\
c = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\frac{h-(s + (t_0-s)\\frac{(h-s)}{h_0-s})}{h-s}
\\\\
c = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\left(1-\\frac{(t_0 -s)}{(h_0-s)}\\right)\\)<\/p>\n\n\n\n

Repare que \\(c\\) n\u00e3o depende da altura, vai ser sempre constante. D\u00ea uma olhadinha nas componentes do tamp\u00e3o e a da altura l\u00e1 do gradiente que definimos acima. Se juntamos as duas obtemos:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\frac{\\partial c}{\\partial h} =-\\frac{\\partial c}{\\partial t}\\left(1-\\frac{h-t}{h-s}\\right)\\)<\/p>\n\n\n\n

Dentre outras coisas, perceba que se n\u00e3o existe varia\u00e7\u00e3o da carga espec\u00edfica com o tamp\u00e3o, n\u00e3o existe tamb\u00e9m varia\u00e7\u00e3o da carga espec\u00edfica com a altura. E vice-versa. A mesma informa\u00e7\u00e3o que encontramos a pouco quando fizemos \\(c\\) n\u00e3o depender da altura fazendo com que o tamp\u00e3o ficasse sobre o imagem da reta \\(t(h)\\). Seria muito legal se voc\u00ea observasse as informa\u00e7\u00f5es que podemos retirar dos in\u00fameros sistemas que podemos montar com a abordagem que estou te mostrando. Eu poderia abrir muito mais o leque aqui, mas ficaria um texto muito longo. Vamos devagar.<\/p>\n\n\n\n

Para fechar, vou te mostrar duas coisas: como de certa forma voc\u00ea consegue controlar a varia\u00e7\u00e3o de \\(c\\) fazendo com que \\(t(h)\\) assuma a forma de outras fun\u00e7\u00f5es. E por \u00faltimo, como incluir um modelo simples de previs\u00e3o de flyrock nisso tudo.<\/p>\n\n\n\n

Veja, encontrar a solu\u00e7\u00e3o geral de<\/p>\n\n\n\n

\\(\\frac{d}{dh}t(h) – \\frac{t(h)}{(h-s)} = -\\frac{\\partial c}{\\partial h}\\frac{4A(h-s)}{\\rho \\pi D^2} – \\frac{s}{(h-s)}\\)<\/p>\n\n\n\n

envolve, necessariamente, conhecer como a carga espec\u00edfica varia com a altura de corte. O termo \\(\\frac{\\partial c}{\\partial h}\\) diz isso de forma gritante pra n\u00f3s.
Mas veja, admitimos que \\(\\frac{\\partial c}{\\partial h}\\) possui uma representa\u00e7\u00e3o anal\u00edtica. Isso quer dizer que:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\frac{\\partial c}{\\partial h}\\equiv f_r(h)\\)<\/p>\n\n\n\n

A implica\u00e7\u00e3o disso \u00e9 que pode existir uma fun\u00e7\u00e3o, digamos, \\(\\eta(h)\\) tal que:

\\(\\eta(h)=\\int f_r(h)dh + Cte\\)

Fazendo a substitui\u00e7\u00e3o:

\\(\\frac{d}{dh}t(h) – \\frac{t(h)}{(h-s)} = -f_r(h)\\frac{4A(h-s)}{\\rho \\pi D^2} – \\frac{s}{(h-s)}\\)

Uma solu\u00e7\u00e3o para a ED acima atrav\u00e9s do uso do mesmo fator integrante que calculamos antes seria:
<\/p>\n\n\n\n

\\(\\frac{d}{dh}\\left(\\frac{t(h)}{(h-s)}\\right)= -\\frac{f(h)4A} {\\rho\\pi D^2} – \\frac{s}{(h-s)^2}
\\\\
\\frac{t(h)}{(h-s)} =-\\frac{4A} {\\rho\\pi D^2}\\int f(h)dh + -s\\int\\frac{1}{(h-s)^2}dh
\\\\
t(h) = \\frac{-4A(h-s)}{\\rho \\pi D^2} \\eta(h) + s + K(h-s)\\)<\/p>\n\n\n\n

Perceba como inclu\u00edmos \\(\\eta(h)\\) na solu\u00e7\u00e3o acima pelo uso de \\(\\eta(h)=\\int f_r(h)dh + Cte\\).<\/p>\n\n\n\n

A solu\u00e7\u00e3o geral encontrada \u00e9 particularizada sob a luz de uma das condi\u00e7\u00f5es adotadas at\u00e9 agora: para uma \\(h_0\\) temos um \\(t_0\\) associado, de forma que a constante \\(K\\) que aparece na equa\u00e7\u00e3o \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

\\(t_0 = \\frac{-4A(h_0-s)}{\\rho \\pi D^2} \\eta(h_0) + s + K(h_0-s)
\\\\
K = \\frac{(t_0-s)}{(h_0-s)}+ \\frac{4A\\eta(h_0)}{\\rho \\pi D^2}\\)<\/p>\n\n\n\n

Substituindo na solu\u00e7\u00e3o geral encontramos a solu\u00e7\u00e3o particular:<\/p>\n\n\n\n

\\(t(h) = \\frac{4A(h-s)}{\\rho \\pi D^2}(\\eta(h_0) – \\eta(h)) + \\frac{(t_0-s)}{(h_0-s)}(h-s) + s\\)<\/p>\n\n\n\n

Esta fun\u00e7\u00e3o \\(t(h)\\) diz como deve ser a altura do tamp\u00e3o se voc\u00ea que que a carga espec\u00edfica obede\u00e7a a regra \\(\\eta(h)\\). Vamos substituir nosso novo \\(t(h)\\) na defini\u00e7\u00e3o \\(c\\).<\/p>\n\n\n\n

\\(c =\\frac{\\rho \\pi D^2}{4A(h-s)}(h-t(h))
\\\\
c =\\frac{\\rho \\pi D^2}{4A(h-s)}(h-\\left(\\frac{4A(h-s)}{\\rho \\pi D^2}(\\eta(h_0) – \\eta(h)) + \\frac{(t_0-s)}{(h_0-s)} + s\\right))
\\\\
c = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\left(1-\\frac{(t_0-s)}{(h_0-s)}\\right)-(\\eta(h_0) – \\eta(h))\\)<\/p>\n\n\n\n

Observe que a taxa de varia\u00e7\u00e3o da carga espec\u00edfica em rela\u00e7\u00e3o a altura de corte \u00e9 dada somente pela fun\u00e7\u00e3o \\(\\eta(h)\\). De fato, se derivamos \\(c\\) em rela\u00e7\u00e3o a altura de corte obtemos:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\frac{\\partial}{\\partial h}c=\\frac{d}{dh}\\left[\\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\left(1-\\frac{(t_0-s)}{(h_0-s)}\\right)-(\\eta(h_0) – \\eta(h))\\right]
\\\\
\\frac{\\partial}{\\partial h}c = 0 – 0 – 0 + \\frac{d}{dh}\\eta(h)
\\\\
\\frac{\\partial}{\\partial h}c = \\frac{d}{dh}\\eta(h)\\)<\/p>\n\n\n\n

Ou seja, a taxa de varia\u00e7\u00e3o da carga espec\u00edfica em fun\u00e7\u00e3o da altura de corte em rocha \u00e9 controlada apenas pela escolha da fun\u00e7\u00e3o \\(\\eta(h)\\).<\/p>\n\n\n\n

Estabelecendo um valor para \\(\\frac{\\partial}{\\partial h}c\\) podemos obter uma regra (ou fun\u00e7\u00e3o) associada aos valores de tamp\u00e3o que devemos utilizar para manter a varia\u00e7\u00e3o da carga espec\u00edfica dentro do planejado por \\(\\eta(h)\\). Por exemplo, se por algum motivo qualquer desejamos que quanto maior a altura de corte mais carga explosiva queremos, isto implica que:<\/p>\n\n\n\n

\\(f_r(h)=\\delta\\)<\/p>\n\n\n\n

Sendo \\(\\delta$\\) a taxa constante com que a carga espec\u00edfica varia com a altura e corte. Portanto, \\(\\delta\\) tem unidade \\(kg.m^{-3}\/m\\).
Integrando em rela\u00e7\u00e3o a \\(h\\) obtemos:<\/p>\n\n\n\n

\\(\\eta(h)=\\int \\delta dh
\\\\
\\eta(h)=\\delta h + Cte\\)<\/p>\n\n\n\n

Substituindo o resultado<\/p>\n\n\n\n

\\(c = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\left(1-\\frac{(t_0-s)}{(h_0-s)}\\right)-(\\eta(h_0) – \\eta(h))
\\\\
c = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\left(1-\\frac{(t_0-s)}{(h_0-s)}\\right)-\\delta h_0 – Cte + \\delta h + Cte
\\\\
c = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4A}\\left(1-\\frac{(t_0-s)}{(h_0-s)}\\right)+ \\delta(h – h_0)
\\\\
\\\\
t(h) = \\frac{4A(h-s)}{\\rho \\pi D^2}(\\eta(h_0) – \\eta(h)) + \\frac{(t_0-s)}{(h_0-s)}(h-s) + s
\\\\
t(h) = -\\frac{4A(h-s)}{\\rho \\pi D^2}\\delta(h – h_0) + \\frac{(t_0-s)}{(h_0-s)}(h-s) + s\\)<\/p>\n\n\n\n

Estas duas fun\u00e7\u00f5es dizem que se voc\u00ea seguir o tamp\u00e3o dado pela regra \\(t(h)\\) sua carga espec\u00edfica vai crescer linearmente a uma taxa \\(\\delta\\). Veja no pr\u00f3ximo gr\u00e1fico os valores do tamp\u00e3o em fun\u00e7\u00e3o da altura mapeados para a carga espec\u00edfica para os seguintes valores iniciais<\/p>\n\n\n\n

\\(\\rho = 1000kg\/m^3
\\\\
A = 7m^2
\\\\
D = 3”= 0,076m
\\\\
h_0 = 10m
\\\\
t_0 = 1,5m
\\\\
s = 0,5m\\)<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Os dados que foram usados para gerar os gr\u00e1ficos acima foram:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Veja que a varia\u00e7\u00e3o da carga espec\u00edfica (\\(\\Delta c\\)) \u00e9 constante e igual \u00e0quela que estipulamos.
A princ\u00edpio, qualquer escolha de \\(\\eta(h)\\) que gere um sistema f\u00edsico plaus\u00edvel pode ser usada para modelar ou simular diversas configura\u00e7\u00f5es de geometria de malha e configura\u00e7\u00f5es de carga explosiva.
A fun\u00e7\u00e3o \\(\\eta(h)\\) n\u00e3o \u00e9 uma entidade real; a carga espec\u00edfica \u00e9 simplesmente a quantidade de explosivos que se utiliza para desmontar uma certa quantidade de rocha e \\(\\eta(h)\\) n\u00e3o \u00e9 necess\u00e1ria para isso. Por\u00e9m, \\(\\eta(h)\\) pode nos mostrar que regra devemos seguir quanto a altura do tamp\u00e3o para que nossa carga espec\u00edfica varie desta ou daquela maneira, dependendo das considera\u00e7\u00f5es que estipularmos. Qual \u00e9 a regra que \\(\\eta(h)\\) estabelece e se esta regra \u00e9 fisicamente poss\u00edvel de ser implementada ou mesmo se \u00e9 economicamente vi\u00e1vel, cabe ao projetista do desmonte decidir.<\/p>\n\n\n\n


Eu n\u00e3o coloquei as medidas geom\u00e9tricas de afastamento e espa\u00e7amento at\u00e9 agora porque, sinceramente, acho par\u00e2metros muito simplistas, al\u00e9m de conduzirem a um erro grosseiro no calculo de volume que n\u00e3o entendo at\u00e9 hoje por que ainda s\u00e3o utilizados. Mas se voc\u00ea esta angustiado com isso vou quebrar seu galho.
Para introduzir os seus queridinhos afastamento (B) e espa\u00e7amento (E) vamos utilizar tamb\u00e9m a rela\u00e7\u00e3o entre eles.<\/p>\n\n\n\n

\\(\\beta = \\frac{E}{B}\\)<\/p>\n\n\n\n

A famosa rela\u00e7\u00e3o \\(\\beta\\) que \u00e9 palco de discuss\u00f5es acaloradas sobre qual valor dentro do intervalo dos numeros reais [1 ;2] produz o melhor resultado. Meu conselho \u00e9: n\u00e3o caia nessa. Reduzir a complexidade de um poss\u00edvel ponto \u00f3timo e universal do desmonte de rocha a uma rela\u00e7\u00e3o entre \\(B\\) e \\(E\\) \u00e9 muito simplista. Eu poderia at\u00e9 arriscar e dizer que \u00e9 um bode na sala para desviar a aten\u00e7\u00e3o da nossa completa ignor\u00e2ncia sobre os fundamentos da teoria do desmonte. Algo como “\u00e9 o que tem pra hoje”.<\/p>\n\n\n\n

Se te faz feliz, podemos inserir \\(B\\) e \\(E\\) desta maneira<\/p>\n\n\n\n

\\(A = (B)(E)
\\\\
\\beta B = E
\\\\
A = B^2\\beta
\\\\
c = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4 B^2\\beta}\\left(1-\\frac{(t_0-s)}{(h_0-s)}\\right)+ \\delta(h – h_0)\\)<\/p>\n\n\n\n

Ou, se voc\u00ea quer partir do in\u00edcio:<\/p>\n\n\n\n

\\(c = \\frac{\\rho \\pi D^2}{4B^2\\beta}\\frac{h-t}{h-s}
\\\\
\\left(\\frac{B}{D}\\right)^2 = \\frac{\\rho \\pi}{4c\\beta}\\frac{h-t}{h-s}\\)<\/p>\n\n\n\n

Pode usar estes dois modelos para brincar de encontrar “malhas”. S\u00f3 preste aten\u00e7\u00e3o nas limita\u00e7\u00f5es que o uso de \\(B\\) e \\(E\\) carregam.<\/p>\n\n\n\n

Por ultimo, vou te mostrar um pequeno exemplo de como incluir o modelo de flyrock de McKenzie. Este modelo est\u00e1 no Blasters Handbook e \u00e9 derivado de um paper de McKenzie se n\u00e3o me engano publicado em 2009. Se quer os detalhes pesquise na base de dados da ISEE, vais encontrar com certeza. O paper se chama Flyrock Range and Fragment Size Prediction.<\/em>
N\u00e3o cabe aqui julgar se \u00e9 o melhor modelo de previs\u00e3o de flyrock ou n\u00e3o. \u00c9 apenas um exemplo de como incorporar informa\u00e7\u00f5es externas. Voc\u00ea \u00e9 altamente encorajado a usar seus modelos e dedu\u00e7\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n

Come\u00e7amos admitindo a hip\u00f3tese que queremos uma carga espec\u00edfica constante, mas temos alturas de corte vari\u00e1veis.
Observando a reta:<\/p>\n\n\n\n

\\(t(h) = s + (t_0-s)\\frac{(h-s)}{h_0-s}\\)<\/p>\n\n\n\n

Vamos escolher um valor inicial \\(t_0\\) com base na profundidade de carga escalonada – SDB (do ingl\u00eas Scaled Depth of Burial<\/em>)<\/p>\n\n\n\n

\\(SDB = \\frac{t+\\frac{1}{2}MD}{Q^{\\frac{1}{3}}}\\)<\/p>\n\n\n\n

As vari\u00e1veis s\u00e3o:
t = tamp\u00e3o.
M = fator de contribui\u00e7\u00e3o de aproxima\u00e7\u00e3o de carga esf\u00e9rica.
D = di\u00e2metro do furo.
Q = carga explosiva associada \u00e0 aproxima\u00e7\u00e3o de carga esf\u00e9rica.
O fator \\(M\\) admite um valor m\u00e1ximo de 8 para di\u00e2metros \\(d<100mm\\) e um valor m\u00e1ximo de 10 para \\(d\\geq100mm\\) (McKenzie, 2009). Ou, dito de outra maneira, para di\u00e2metros menores que 100mm considere um comprimento de carga explosiva de \\(8D\\), para di\u00e2metros maiores, \\(10D\\).
Definido \\(M\\), o valor da carga correspondente \\(Q\\) pode ser obtido atrav\u00e9s da densidade de massa efetiva do explosivo \\(\\rho\\):<\/p>\n\n\n\n

\\(\\rho = \\frac{Q}{V}
\\\\
\\rho = \\frac{4Q}{\\pi\\,D^2\\, MD}
\\\\
\\rho = \\frac{4Q}{\\pi\\,D^3\\,M}
\\\\
Q = \\frac{\\rho\\,\\pi\\,D^3\\,M}{4}\\)<\/p>\n\n\n\n

Substituindo na SDB:<\/p>\n\n\n\n

\\(SDB = \\frac{t+\\frac{1}{2}MD}{\\biggl(\\frac{\\rho\\,\\pi\\,D^3\\,M}{4}\\biggr)^{\\frac{1}{3}}}\\)<\/p>\n\n\n\n

Se \\(t_0\\) est\u00e1, de certa forma, condicionado a um valor de SDB, digamos \\(SDB_{t0}\\), podemos rearranjar os termos e obter:<\/p>\n\n\n\n

\\(t_0 = D\\Biggl[SDB_{t0} \\Biggl(\\frac{\\rho\\,\\pi\\,M} {4}\\Biggr)^{\\frac{1}{3}} -\\frac{1}{2}M \\Biggr]\\)<\/p>\n\n\n\n

Definir um valor fixo para a SDB implica, inevitavelmente, em utilizar o mesmo valor do tamp\u00e3o para todos os furos, independente da altura de corte em rocha. Para superar isso, podemos definir uma faixa de valores de SDB, como para \\(t_0\\) uma \\(SDB_{t0}\\) e para um valor de \\(t_{n}\\) uma \\(SDB_{t_{n}}\\). Teremos ent\u00e3o duas equa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n\n\n\n

\\(t_0 = D\\Biggl[SDB_{t0} \\Biggl(\\frac{\\rho\\,\\pi\\,M} {4}\\Biggr)^{\\frac{1}{3}} -\\frac{1}{2}M \\Biggr]
\\\\
t_{n} = D\\Biggl[SDB_{t_{n}} \\Biggl(\\frac{\\rho\\,\\pi\\,M} {4}\\Biggr)^{\\frac{1}{3}} -\\frac{1}{2}M \\Biggr]\\)<\/p>\n\n\n\n

Se a carga espec\u00edfica deve ser constante escrevemos:<\/p>\n\n\n\n

\\(t(h) = s + (t_0-s)\\frac{(h-s)}{h_0-s}
\\\\
t_{n} = s + (t_0-s)\\frac{(h-s)}{h_0-s}
\\\\
h = \\frac{(t_n-s)}{(t_0-s)}(h_0-s) + s = h_{max}\\)<\/p>\n\n\n\n

A equa\u00e7\u00e3o acima mostra a altura m\u00e1xima que impomos ao nosso modelo. Ou seja, o tamp\u00e3o inicial \\(t_0\\), associado a \\(SDB_{t0}\\), est\u00e1 associado \u00e0 altura inicial de corte em rocha \\(h_0\\). O tamp\u00e3o \\(t_{n}\\) est\u00e1 associado a \\(SDB_{t_{n}}\\) e conduz a maior altura de corte poss\u00edvel, \\(h_{max}\\), partindo de \\(h_0\\). Esta altura m\u00e1xima conduz a \\(SDB_{t_{n}}\\).<\/p>\n\n\n\n

Para fixar, um pequeno tutorial.
<\/p>\n\n\n\n

1 – Para a menor altura encontre um tamp\u00e3o baseado na SDB. Assim voc\u00ea define \\(t_0\\), \\(h_0\\) e \\(SDB_{t_0}\\).

2 – Encontre um valor de \\(t_n\\) que gere um valor aceit\u00e1vel para SDB. Assim voc\u00ea garante que os furos v\u00e3o apresentar SDB dentro do limite \\([SDB_{t_0};SDB_{t_n}]\\) que voc\u00ea definiu.

3 – Encontre a altura m\u00e1xima poss\u00edvel para que o modelo seja v\u00e1lido.

4 – O tamp\u00e3o para o intervalo de alturas \\([h_0;h_{max}]\\) \u00e9 dado por

\\(t(h) = s + (t_0-s)\\frac{(h-s)}{h_0-s}\\)


Pronto, neste modelo matem\u00e1tico voc\u00ea gera tamp\u00f5es que est\u00e3o dentro de um limite seguro e uma carga espec\u00edfica constante independente da altura de corte em rocha, desde que a altura esteja dentro de um intervalo \\([h_0;h_{max}]\\).<\/p>\n\n\n\n

A partir destas dedu\u00e7\u00f5es voc\u00ea pode montar uma enorme quantidade de modelos para simular algum assunto em particular. Eu apresentei apenas alguns, muito b\u00e1sicos na verdade, mas \u00e9 um ponto de partida.
Os modelos que descrevi s\u00e3o na melhor das hip\u00f3teses um pequeno guia para simula\u00e7\u00e3o. N\u00e3o absorvem toda a complexidade do fen\u00f4meno desmonte de rochas. \u00c9 apenas uma maneira de tentar entender como mudan\u00e7as que fazemos na malha de perfura\u00e7\u00e3o, di\u00e2metro e nas outras vari\u00e1veis associadas podem influenciar na distribui\u00e7\u00e3o da massa explosiva pelo volume de rocha, mesmo este volume sendo um s\u00f3lido irregular.
Espero que voc\u00ea tenha aproveitado. Segue o seu caminho, tenta simular, melhorar o que aqui foi apresentado e se voc\u00ea encontrar algo legal, me avisa. Os v\u00eddeos a seguir mostram alguns desmontes onde eu utilizei metodologias parecidas para a modelagem de cargas, malhas, temporiza\u00e7\u00e3o e an\u00e1lise de flyrock. A grande diferen\u00e7a \u00e9 que nestes desmontes eu tratei as vari\u00e1veis como distribui\u00e7\u00f5es de probabilidades. Outra hora a gente conversa sobre isso.
Valeu<\/p>\n\n\n\n

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