Sem acesso a relat\u00f3rios confidenciais, f\u00f3rmulas m\u00e1gicas ou sensores sofisticados, ele usou an\u00e1lise dimensional \u2014 uma ferramenta conceitualmente simples, mas poderosa. Particularmente, a grande estrela da an\u00e1lise feita por Taylor foi o Teorema \\(\\pi\\) de Vaschy-Buckingham.<\/a> As leis naturais n\u00e3o dependem das unidades que escolhemos. Seja qual for o sistema de medida \u2014 metros ou polegadas, segundos ou mil\u00eanios, gramas ou toneladas \u2014 o comportamento da natureza permanece o mesmo. Naquela manh\u00e3 bem fria de inverno, o acordar descal\u00e7o e a topada do mindinho na quina da cama vai te causar a mesma dor se voc\u00ea medir a for\u00e7a aplicada no seu pobre dedinho em Newtons, Dinas ou qualquer outra unidade que queira. A partir dessas constata\u00e7\u00f5es surge o Teorema \\(\\pi\\) de Vaschy-Buckingham<\/a>, que diz basicamente o seguinte:<\/p>\n\n\n\n Se um fen\u00f4meno f\u00edsico envolve \\(n\\) vari\u00e1veis com \\(k\\) dimens\u00f5es fundamentais (como massa, comprimento e tempo), ent\u00e3o ele pode ser descrito por \\( p = n\u2212k \\) combina\u00e7\u00f5es adimensionais, chamadas de \\( \\pi_1,\\pi_2,…,\\pi_p \\), de modo que: Eu sei, esse teorema parece meio estranho na primeira vez que voc\u00ea topa com ele. E se voc\u00ea se aprofundar mais, ver\u00e1 que ele \u00e9 intimamente ligado a conceitos da algebra linear quando voc\u00ea trata as dimens\u00f5es como vetores de uma base canonica e procura pelo espa\u00e7o nulo da matriz associada as unidades do fen\u00f4meno estudado. Mas n\u00f3s n\u00e3o vamos nos aprofundar nos detalhes deste teorema, n\u00e3o \u00e9 o foco aqui. \\( F(\\pi_1, \\pi_2, \\dots, \\pi_p) = 0\\)<\/p>\n\n\n\n Vamos tentar destrinch\u00e1-la melhor. Pode parecer estranho uma fun\u00e7\u00e3o “devolver zero”, mas isso \u00e9 comum na f\u00edsica. \u00c9 igual quando voc\u00ea tem uma equa\u00e7\u00e3o do tipo:<\/p>\n\n\n\n \\( y = 2x + 1\\rightarrow F(x,y) = y \u2212 2x \u2212 1 = 0 \\)<\/p>\n\n\n\n Perceba que isso \u00e9 a mesma coisa \u2014 s\u00f3 escrita de outro jeito.<\/p>\n\n\n\n E o que s\u00e3o, afinal, esses n\u00fameros \\(\\pi\\)? Pense neles como as unidades neutras do sistema: n\u00e3o importa se voc\u00ea mede em metros ou polegadas, segundos ou horas \u2014 o valor de um n\u00famero \\(\\pi\\) continua o mesmo. \u00c9 como se ele representasse a ess\u00eancia do fen\u00f4meno, sem as amarras das unidades de medida.<\/p>\n\n\n\n Na maioria das introdu\u00e7\u00f5es ao Teorema \\(\\pi\\), o pessoal costuma usar o famoso n\u00famero de Reynolds<\/strong>,<\/a> aquele que aparece na din\u00e2mica dos fluidos e decide se o escoamento \u00e9 laminar ou turbulento. Mas isso exige mais tempo, envolve viscosidade e n\u00e3o ajuda muito no que queremos aqui.<\/p>\n\n\n\n Nosso foco n\u00e3o \u00e9 o Teorema \\(\\pi\\) em si (e, diga-se de passagem, acho que j\u00e1 passamos por uns bons par\u00e1grafos sobre ele). O que a gente realmente quer \u00e9 entender como usar ideias simples de grandezas f\u00edsicas, como o pessoal faz no estudo das vibra\u00e7\u00f5es por desmonte de rocha e assim como Sir Geoffrey Taylor deduziu a quantidade de energia de uma explos\u00e3o nuclear.<\/p>\n\n\n\n Sir Taylor sabia que, idealmente, durante uma explos\u00e3o como a de uma bomba at\u00f4mica, forma-se uma onda de choque esf\u00e9rica que se propaga pelo ar. Essa onda carrega consigo grande parte da energia liberada pela explos\u00e3o e comprime violentamente o ar \u00e0 sua frente.<\/p>\n\n\n\n Taylor sup\u00f4s que o raio \\(R\\) da frente da onda de choque dependeria apenas de tr\u00eas coisas:<\/p>\n\n\n\n Em outras palavras, ele considerou que havia uma fun\u00e7\u00e3o do tipo: <\/p>\n\n\n\n \\(R = f(E,\\rho,t)\\)<\/p>\n\n\n\n Mas ele n\u00e3o queria saber como<\/em> era a fun\u00e7\u00e3o \\(f\\). Ele queria encontrar a forma geral dessa rela\u00e7\u00e3o, e pra isso usou o Teorema \\( \\pi\\) !<\/p>\n\n\n\n Veja, as vari\u00e1veis envolvidas t\u00eam as seguintes dimens\u00f5es:<\/p>\n\n\n\n Temos \\(n=4\\) vari\u00e1veis, e elas envolvem \\( k=3 \\)dimens\u00f5es fundamentais (massa, comprimento e tempo). Vamos tentar uma combina\u00e7\u00e3o geral do tipo:<\/p>\n\n\n\n \\( \\pi_1 =R^aE^b\\rho^ct^d\\)<\/p>\n\n\n\n Para continuar, fazemos algo bem simples: substitu\u00edmos cada vari\u00e1vel \u2014 \\(R,E,\\rho,t\\) \u2014 pelas suas dimens\u00f5es f\u00edsicas. Lembre-se que essas dimens\u00f5es envolvem apenas tr\u00eas unidades fundamentais:<\/p>\n\n\n\n Assim, nosso numero adimensional \\(\\pi_1\\) pode ser reescrito:<\/p>\n\n\n\n \\( Reagrupando as potencias de mesma base temos:<\/p>\n\n\n\n \\( Para que \\(\\pi_1\\) seja adimensional, todos os expoentes devem ser zero, logo:<\/p>\n\n\n\n \\( Agora \u00e9 que voc\u00ea percebe que temos quatro vari\u00e1veis – a,b,c,d- e tr\u00eas equa\u00e7\u00f5es? Isso mesmo. \u00c9 isso que o Teorema \\(\\pi\\) nos disse: para o nosso caso, temos um n\u00famero adimensional, ou seja, um grau de liberdade no nosso sistema. E isso, grosso modo, diz que voc\u00ea pode, impunemente, escolher qualquer valor para uma das vari\u00e1veis que as outras v\u00e3o se encaixar na sua escolha, naturalmente. Significa que o sistema tem uma solu\u00e7\u00e3o livre, ou seja, podemos escolher um dos expoentes \u00e0 vontade (por exemplo, \\(b=1\\)), e as demais vari\u00e1veis ser\u00e3o determinadas a partir disso.<\/p>\n\n\n\n Vamos escolher \\(b=1\\). (Poder\u00edamos escolher outro valor qualquer, mas isso s\u00f3 muda o \u201cformato\u201d da resposta, e n\u00e3o o conte\u00fado f\u00edsico.) Substitu\u00edmos esses valores na express\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n \\( Taylor pegou fotos da explos\u00e3o publicadas em revistas da \u00e9poca, nas quais o raio da frente de choque podia ser medido a partir de escalas visuais. Como o tempo \\(t\\) desde a detona\u00e7\u00e3o era conhecido, e a densidade do ar \\(\\rho\\) tamb\u00e9m, ele p\u00f4de isolar \\(E\\) da equa\u00e7\u00e3o: <\/p>\n\n\n\n \\( Para determinar a constante \\(A\\) que aparece na solu\u00e7\u00e3o, Taylor se baseou nos trabalhos do f\u00edsico sovi\u00e9tico Leonid Sedov<\/a> que, na mesma \u00e9poca, tamb\u00e9m estava estudando as equa\u00e7\u00f5es da propaga\u00e7\u00e3o de ondas de choque em meios compress\u00edveis. Sedov chegou \u00e0 mesma estrutura de solu\u00e7\u00e3o de Taylor, s\u00f3 que com o modelo matem\u00e1tico completo.<\/p>\n\n\n\n A solu\u00e7\u00e3o ficou conhecida como a solu\u00e7\u00e3o de Taylor\u2013Sedov (\u00e0s vezes tamb\u00e9m chamada Taylor\u2013von Neumann\u2013Sedov<\/a>), e a constante que aparece nessa f\u00f3rmula depende do n\u00famero de dimens\u00f5es (2D ou 3D), das propriedades termodin\u00e2micas do g\u00e1s (como o \u00edndice adiab\u00e1tico), e das condi\u00e7\u00f5es iniciais do modelo.<\/p>\n\n\n\n No caso da explos\u00e3o atmosf\u00e9rica tridimensional, essa constante pode ser estimada como \\(A \\approx 1\\), o que d\u00e1 um bom chute inicial para a estimativa de \\(E\\). O resultado foi uma energia da ordem de: <\/p>\n\n\n\n \\(E\\approx 8\\times10^{13} joules\\)<\/p>\n\n\n\n que corresponde a cerca de 20 mil toneladas de TNT, muito pr\u00f3ximo do valor real hoje conhecido para a bomba de Hiroshima.<\/a><\/p>\n\n\n\n Se voc\u00ea quiser se aprofundar na an\u00e1lise dimensional aplicada ao fenomeno do desmonte de rochas eu sugiro a leitura do livro Modelling the Effects of Blasting on Rock Breakage <\/a>dos autores V.A. Borovikov e I.F. Vanyagin. J\u00e1 te adianto: n\u00e3o \u00e9 um livro, digamos, muito simples, requer uma certa base de matem\u00e1tica e f\u00edsica, mas garanto que vai te fazer bem, encarar uma leitura dif\u00edcil \u00e9 um bom exerc\u00edcio de crescimento. <\/a>Este artigo G.I. Taylor and the Trinity test de Michael A.B. Deakin<\/a> explica de maneira bem mais detalhada o desenvolvimento aplicado por Sir Taylor. <\/p>\n\n\n\n Em resumo, Sir Geoffrey Taylor mostrou que d\u00e1 pra estimar a energia da explos\u00e3o a partir de poucas vari\u00e1veis \u2014 tempo, densidade do meio e raio da frente de choque \u2014 usando an\u00e1lise dimensional e o Teorema \\(\\pi\\). Ambraseys e Hendron consideraram os seguintes grupos de vari\u00e1veis envolvidadas no estudo das vibra\u00e7\u00f5es geradas por cargas explosivas no desmonte de rocha:<\/p>\n\n\n\n Vari\u00e1veis independentes (entrada do problema)<\/p>\n\n\n\n Vari\u00e1veis dependentes (resposta do sistema)<\/p>\n\n\n\n Aplicando o Teorema \\(\\pi\\) a estes grupos de vari\u00e1veis temos \\(p = 9 – 3 = 6\\) n\u00fameros adimensionais associados. Ou seja, \u00e9 poss\u00edvel construir 6 n\u00fameros \\(\\pi_i\\)\u200b que representam a ess\u00eancia do problema f\u00edsico. Uma possibilidade de agrupamento \u00e9 esta:<\/p>\n\n\n\n \\( Mas por que uma possibilidade de agrupamento? Existem outras? Sim! Poder\u00edamos ter escolhido outras combina\u00e7\u00f5es que gerariam alguns outros n\u00fameros adimensionais – mas sempre limitado a 6 poss\u00edveis combina\u00e7\u00f5es unicas.<\/p>\n\n\n\n Os adimensionais cl\u00e1ssicos que a galera usa s\u00e3o os que o Professor Charles Dowding apresenta – com muita mestria – no seu livro Blast Vibration Monitoring and Control<\/a><\/em> (leitura obrigat\u00f3ria se voc\u00ea trabalha ou quer trabalhar com sismografia de uma maneira profissional). Os adimensionais s\u00e3o estes:<\/p>\n\n\n\n \\( Uma escolha s\u00e1bia faz parte da solu\u00e7\u00e3o do problema. Veja que os par\u00e2metros de \\(\\pi_1\\) at\u00e9 \\(\\pi_4\\) contem as vari\u00e1veis dependentes e os dois \u00faltimos s\u00e3o combina\u00e7\u00f5es das vari\u00e1veis independentes.<\/p>\n\n\n\n Com base no conjunto de adimensionais, \u00e9 poss\u00edvel escrever a velocidade m\u00e1xima da part\u00edcula como um produt\u00f3rio do tipo: <\/p>\n\n\n\n \\(\\frac{v}{c} = \\prod_{n} \\pi_n^{\\alpha_n}\u200b\u200b\\)<\/p>\n\n\n\n Essa equa\u00e7\u00e3o geral \u00e9 uma consequ\u00eancia direta do Teorema \\(\\pi\\): ela nos diz que existe uma fun\u00e7\u00e3o que relaciona essas vari\u00e1veis f\u00edsicas atrav\u00e9s de n\u00fameros adimensionais \u2014 e que podemos expressar essa rela\u00e7\u00e3o como um produto de pot\u00eancias de cada \\(\\pi\\)\u200b.<\/p>\n\n\n\n Mas aqui entra um ponto essencial da pr\u00e1tica: Nem todos os termos do produt\u00f3rio t\u00eam o mesmo impacto sobre o fen\u00f4meno.<\/p>\n\n\n\n Dependendo do tipo de an\u00e1lise, da qualidade dos dados ou do n\u00edvel de simplifica\u00e7\u00e3o desejado, podemos manter apenas alguns poucos \\(\\pi_n\\) \u2014 e considerar que os demais est\u00e3o absorvidos no coeficiente a ser determinado empiricamente ou que variam pouco.<\/p>\n\n\n\n Assim, por exemplo, podemos escrever: <\/p>\n\n\n\n \\(\\frac{v}{c} = \\pi_i^{\\alpha_i} \\cdot \\pi_j^{\\alpha_j} \\cdot \\dots\\)<\/p>\n\n\n\n Selecionando apenas os \\(\\pi\\) mais relevantes para o problema. O professor Dowding no seu livro, por exemplo, apresenta o seguinte modelo de previs\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n \\( Perceba que estamos trabalhando com adimensionais puros, al\u00e9m disso observe dois fatores importantes: Existe outro modelo, talvez o mais amplamente conhecido e utilizado na pr\u00e1tica, para a previs\u00e3o da velocidade m\u00e1xima de part\u00edcula:<\/p>\n\n\n\n \\( Note que, diferentemente das equa\u00e7\u00f5es baseadas em n\u00fameros adimensionais, essa equa\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 adimensional. O termo entre par\u00eanteses n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero puro, e portanto o coeficiente ( k ) precisa carregar unidades para que a equa\u00e7\u00e3o permane\u00e7a dimensionalmente correta.<\/p>\n\n\n\n Analisando as dimens\u00f5es: Logo, o termo elevado a \\( \\alpha \\) possui dimens\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n \\( Como sabemos que a dimens\u00e3o de \\( v_{max} \\) \u00e9 \\( [L T^{-1}] \\), o coeficiente ( k ) deve ter, obrigatoriamente, dimens\u00e3o: Isso significa que o coeficiente \\( k \\) n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero arbitr\u00e1rio: ele depende das unidades adotadas e dos valores dos expoentes utilizados. Essa depend\u00eancia dimensional \u00e9 frequentemente ignorada, o que pode gerar inconsist\u00eancias ou dificultar a compara\u00e7\u00e3o entre diferentes modelos emp\u00edricos. Isso explica por que modelos ajustados com diferentes geometrias, maci\u00e7os ou cargas explosivas apresentam coeficientes com diferentes magnitudes e unidades impl\u00edcitas.<\/p>\n\n\n\n E importante observar que este modelo cl\u00e1ssico pode ser compreendido \u2014 e at\u00e9 fundamentado \u2014 a partir de uma estrutura adimensional mais rigorosa. De fato, entre os n\u00fameros adimensionais extra\u00eddos por an\u00e1lise dimensional para o problema da vibra\u00e7\u00e3o induzida por explosivos, temos:<\/p>\n\n\n\n \\( Esse termo, al\u00e9m de ser adimensional, est\u00e1 relacionado \u00e0 intensidade da frente de onda em uma propaga\u00e7\u00e3o esf\u00e9rica. A teoria da propaga\u00e7\u00e3o de ondas em meios el\u00e1sticos mostra que a energia por \u00e1rea da frente de onda decresce com \\( (1\/R^{\\gamma}) \\), e que a velocidade de part\u00edcula associada \u00e9:<\/p>\n\n\n\n \\( o que implica que o comportamento observado nos modelos emp\u00edricos, onde \\( v \\propto R^{-\\alpha} \\) com \\( \\alpha > 0 \\), reflete diretamente essa atenua\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica natural da propaga\u00e7\u00e3o da onda.<\/p>\n\n\n\n Portanto, ao se escrever:<\/p>\n\n\n\n \\( estamos, na pr\u00e1tica, propondo uma rela\u00e7\u00e3o emp\u00edrica onde a dist\u00e2ncia atua como um fator de atenua\u00e7\u00e3o (por isso o expoente \\( \\alpha \\) \u00e9 negativo se reescrito como \\( v \\propto R^{-\\alpha} )\\), e o termo \\( Q^\\beta \\) representa uma aproxima\u00e7\u00e3o pr\u00e1tica para a energia ( E ) \u2014 isto \u00e9, \\( Q \\propto E \\). <\/p>\n\n\n\n J\u00e1 vimos que esse modelo n\u00e3o \u00e9 adimensional por si s\u00f3, e por isso o coeficiente \\( k \\) precisa compensar as unidades f\u00edsicas faltantes. Mas com o suporte da an\u00e1lise dimensional e da teoria da propaga\u00e7\u00e3o de ondas, conseguimos entender a origem f\u00edsica dos expoentes e por que esse tipo de equa\u00e7\u00e3o funciona t\u00e3o bem em campo.<\/p>\n\n\n\n Mas por que todo esse desenvolvimento em torno de modelos de previs\u00e3o de vibra\u00e7\u00f5es?<\/p>\n\n\n\n Porque, para projetar desmontes que possam atender aos limites de vibra\u00e7\u00e3o da NBR 9653:2018, o modelo cl\u00e1ssico isolado, <\/p>\n\n\n\n \\(v_{max}=k \\cdot \\left( \\frac{R}{Q^\\beta} \\right)^\\alpha\\)<\/p>\n\n\n\n \u00e9, na pr\u00e1tica, in\u00fatil.<\/p>\n\n\n\n Esse modelo pode at\u00e9 prever com razo\u00e1vel precis\u00e3o o valor m\u00e1ximo da velocidade de part\u00edcula, mas ele nada diz sobre as frequ\u00eancias do sinal gerado pela detona\u00e7\u00e3o. E a frequ\u00eancia \u00e9 um par\u00e2metro cr\u00edtico, pois a NBR imp\u00f5e limites de vibra\u00e7\u00e3o que dependem das frequ\u00eancias geradas. Alem disso, a NBR9653 n\u00e3o trabalha com valores m\u00e1ximos de velocidade de particula, mas como todos os valores medidos nos intervalos de tempo. Portanto, prever \\(v_{max}\\) \u00e9 completamente irrelevante para a NBR9653:2018 <\/p>\n\n\n\n Ou seja, para saber se um desmonte respeita a norma \u00e9 preciso estimar as frequ\u00eancias que podem ser geradas aliadas as suas respectivas velocidades de part\u00edcula.<\/p>\n\n\n\n Para isso, precisamos de modelos mais completos, como os apresentados por Dowding, que correlacionam:<\/p>\n\n\n\n Mas antes de chegar \u00e0 previs\u00e3o da frequ\u00eancia principal, \u00e9 fundamental compreender as hip\u00f3teses simplificadoras que nos permitem estim\u00e1-la. E o ponto de partida, universalmente aceito, \u00e9 o modelo de um grau de liberdade amortecido: o cl\u00e1ssico SDF Model (Single Degree of Freedom Model).<\/em><\/p>\n\n\n\n A figura abaixo introduz o conceito de um sistema massa-mola. <\/p>\n\n\n\n A mola, de constante \\(k\\), \u00e9 o elemento que conecta a massa \\(m\\) \u00e0 base. Inicialmente, a massa est\u00e1 em repouso em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 linha de refer\u00eancia \\(g\\). Qualquer movimento relativo a essa linha \u00e9 representado por uma fun\u00e7\u00e3o \\(x(t)\\). Na verdade, a linha \\(g\\) \u00e9 a nossa refer\u00eancia fixa, isto \u00e9, a unica coisa que n\u00e3os e move nesse nosso modelo.<\/p>\n\n\n\n A base, por sua vez, tamb\u00e9m est\u00e1 inicialmente em repouso em rela\u00e7\u00e3o a linha de refer\u00eancia \\(g\\). Qualquer movimento da base em rela\u00e7\u00e3o a essa linha \u00e9 descrito por uma fun\u00e7\u00e3o \\(u(t)\\).<\/p>\n\n\n\n Resumindo:<\/p>\n\n\n\n A mola de constante \\(k\\) conecta a massa \u00e0 base, e transmite for\u00e7as el\u00e1sticas entre elas.<\/p>\n\n\n\n Essa descri\u00e7\u00e3o representa um sistema idealizado: um sistema perfeito, que quando posto em movimento, nunca para. Isso acontece porque, nesse modelo com apenas uma mola e uma massa, a energia oscila continuamente entre forma cin\u00e9tica (na massa) e energia potencial el\u00e1stica (na mola), sem perdas.<\/p>\n\n\n\n Concorde comigo: um sistema assim n\u00e3o tem muita chance de representar com fidelidade o comportamento de sistemas f\u00edsicos reais. Precisamos inserir algo que “roube” um pouco da energia a cada ciclo de oscila\u00e7\u00e3o, dissipando-a, como acontece em qualquer sistema real.<\/p>\n\n\n\n Para isso, introduzimos um amortecedor com coeficiente \\(c\\). Esse elemento representa tudo que consome energia sem armazen\u00e1-la elasticamente \u2014 como atrito, resist\u00eancia do ar, ou qualquer outro mecanismo dissipativo. O papel de \\(c\\) \u00e9 justamente esse: consumir energia do sistema sem devolv\u00ea-la como movimento oscilat\u00f3rio, geralmente transformando-a em calor ou deforma\u00e7\u00f5es permanentes.<\/p>\n\n\n\n A figura a seguir mostra a idealiza\u00e7\u00e3o deste sistema massa-mola com amortecimento \u2014 nosso modelo f\u00edsico mais fiel ao comportamento real observado em estruturas e materiais sob excita\u00e7\u00e3o din\u00e2mica.<\/p>\n\n\n\n Agora, vamos traduzir para uma linguagem mais universal todas estas considera\u00e7\u00f5es, vamos escrever este sistema segundo as Leis de Newton.<\/p>\n\n\n\n Observe que queremos resolver nosso sistema para o movimento relativo da massa em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 base. Chamaremos a fun\u00e7\u00e3o que nos d\u00e1 a posi\u00e7\u00e3o da massa \\(m\\) em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 base de \\(y(t)\\). E:<\/p>\n\n\n\n \\( \u00c9 importante que voc\u00ea compreenda a fun\u00e7\u00e3o acima. Olhe a figra abaixo que mostra \\(y(t)\\) quando a base se desloca para cima da linha de referencia \\(g\\).<\/p>\n\n\n\n Aplicando a segunda Lei de Newton temos, de um lado da igualdade:<\/p>\n\n\n\n For\u00e7a da mola: \\(F_k\u200b=\u2212k\\cdot y(t) = \u2212k (x(t)\u2212u(t))\\)<\/p>\n\n\n\n For\u00e7a de amortecimento: \\(F_c\u200b=\u2212c \\cdot \\dot{y}\u200b(t) = \u2212c(\\dot{x}(t)\u2212\\dot{u}(t))\\)<\/p>\n\n\n\n As for\u00e7a de amortecimento modelamos como sendo porporcional a velocidade da massa – assim como a for\u00e7a devido ao arrasto do ar devido a um corpo em queda livre. Desta fora os termos \\(\\dot{x}(t)\\) e \\(\\dot{u}(t)\\) s\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n \\( Tanto\\(F_k\\) quanto \\(F_c\\) possuem sinal negativo pois se op\u00f5em ao movimento da massa. Ambas resultam na for\u00e7a l\u00edquida agindo sobre \\(m\\), assim:<\/p>\n\n\n\n \\(F_k + F_c = m\\ddot{x}(t)\\) <\/p>\n\n\n\n Perceba que \\(\\ddot{x}(t)\\) \u00e9 a acelera\u00e7\u00e3o da massa \\(m\\). Rearranjando os termos:<\/p>\n\n\n\n \\( Essa \u00faltima equa\u00e7\u00e3o mostra que o movimento relativo da massa depende diretamente de como a base \u00e9 solicitada. E sim, voc\u00ea provavelmente j\u00e1 percebeu: estamos lidando com uma equa\u00e7\u00e3o diferencial.<\/p>\n\n\n\n Isso significa, em termos simples, que n\u00e3o estamos procurando apenas um n\u00famero, um valor espec\u00edfico da vari\u00e1vel \\(y(t)\\), mas sim qual a forma que a fun\u00e7\u00e3o \\(y(t)\\) deve ter para que descreva o comportamento do sistema ao longo do tempo.<\/p>\n\n\n\n Se voc\u00ea se lembra das suas aulas de c\u00e1lculo, deve recordar que, quando temos algo multiplicando a derivada de ordem dois \u2014 neste caso, a massa multiplicando a acelera\u00e7\u00e3o relativa: \\(m\\ddot{y}(t)\\) — a resolu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o se torna um pouco mais trabalhosa.<\/p>\n\n\n\n O melhor dos mundos, do ponto de vista da an\u00e1lise matem\u00e1tica, \u00e9 deixar esse termo sozinho no lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o, solit\u00e1rio como um estagi\u00e1rio no primeiro churrasco da obra. Para isso, basta dividir tudo pela massa \\(m\\):<\/p>\n\n\n\n \\( Agora aparecem dois coeficientes:<\/p>\n\n\n\n \\( Esses dois coeficientes que surgem ao dividir a equa\u00e7\u00e3o por \\(m\\) s\u00e3o como sal na cozinha: est\u00e3o presentes em toda receita que envolve vibra\u00e7\u00e3o. Vai encontr\u00e1-los em praticamente todo sistema oscilat\u00f3rio \u2014 seja numa ponte, numa m\u00e1quina, em desmonte de rochas ou at\u00e9 no seu bolso, dentro do celular, quando ele vibra em uma chamada.<\/p>\n\n\n\n E s\u00e3o t\u00e3o recorrentes que ganham nomes pr\u00f3prios:<\/p>\n\n\n\n Para entender a frequ\u00eancia natural — \\( \\frac{k}{m} \\)\u200b — vamos considerar a vers\u00e3o mais simples do nosso modelo: um sistema massa-mola sem amortecimento e sem excita\u00e7\u00e3o externa.<\/p>\n\n\n\n Eliminando o amortecimento \\(c=0\\) e supondo que a base n\u00e3o se move \\(u(t)=0\\), a equa\u00e7\u00e3o de movimento relativa fica:<\/p>\n\n\n\n \\( Essa \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o diferencial linear homog\u00eanea de segunda ordem com coeficiente constante<\/a>. A solu\u00e7\u00e3o geral depende das ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o caracter\u00edstica:<\/p>\n\n\n\n \\( Ou seja, a solu\u00e7\u00e3o \u00e9 oscilat\u00f3ria, do tipo:<\/p>\n\n\n\n \\( y(t) =A \\cos(\\omega_n\u200bt)+B \\sin(\\omega_n\u200bt)\\text{ com } \\omega_n\u200b=\\sqrt{\\frac{k}{m}} \\rightarrow \\omega_n^2 = \\frac{k}{m}\\)<\/p>\n\n\n\n A constante \\( \\omega_n \\)\u200b que aparece na solu\u00e7\u00e3o \u00e9 a frequ\u00eancia angular natural do sistema. Ela depende diretamente da rigidez da mola \\(k\\) e inversamente da massa \\(m\\).<\/p>\n\n\n\n Isso faz todo o sentido f\u00edsico:<\/p>\n\n\n\n A frequ\u00eancia natural n\u00e3o \u00e9 algo \u201cinventado\u201d: ela emerge naturalmente da solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o de movimento do sistema livre. Veja que, at\u00e9 certo ponto, o comportamento do sistema \u00e9 definido por sua massa \\(m\\), por uma constante de mola \\(k\\) e por uma constante de amortecimento \\(c\\).<\/p>\n\n\n\n Quando estamos lidando com um modelo idealizado \u2014 como uma massa presa a uma mola \u2014 \u00e9 relativamente simples identificar esses par\u00e2metros. Mas e se, em vez de uma massa ideal, estivermos falando de um pr\u00e9dio de dez andares? Como medir a sua massa total? E pior ainda: o que seria a constante de mola \\(k\\) para uma constru\u00e7\u00e3o desse tipo?<\/p>\n\n\n\n \u00c9 nesse momento que a abstra\u00e7\u00e3o puramente matem\u00e1tica come\u00e7a a se distanciar da realidade pr\u00e1tica da engenharia. Afinal, queremos usar esses modelos para analisar as oscila\u00e7\u00f5es reais de casas, pr\u00e9dios, pontes e estruturas em geral. Mas como traduzir a ideia de \u201cconstante de mola\u201d para algo que fa\u00e7a sentido no mundo f\u00edsico?<\/p>\n\n\n\n No modelo ideal, \\(k\\) mede a rigidez da mola: quanto mais dif\u00edcil \u00e9 comprimi-la, maior o valor de \\(k\\). Isso se traduz diretamente na f\u00f3rmula da for\u00e7a el\u00e1stica: <\/p>\n\n\n\n \\(F=k \\cdot \\Delta x\\)<\/p>\n\n\n\n Mas quando tratamos de constru\u00e7\u00f5es reais, n\u00e3o existe uma mola vis\u00edvel ligando o edif\u00edcio ao solo. Ent\u00e3o, o que seria \\(k\\), nesse caso?<\/p>\n\n\n\n A resposta est\u00e1 na rigidez efetiva do sistema como um todo. Isso inclui:<\/p>\n\n\n\n Ou seja, \\(k\\) representa a capacidade da estrutura de resistir \u00e0 deforma\u00e7\u00e3o, como se ela fosse uma \u201cmola distribu\u00edda\u201d.<\/p>\n\n\n\n Ao inv\u00e9s de tentar medir \\(k\\), ou a massa, diretamente (o que seria quase imposs\u00edvel), recorremos a algo que podemos medir com ensaios ou sensores, desta forma nosso modelo matem\u00e1tico \u00e9 reescrito de forma a utilizar par\u00e2metros mais acess\u00edveis e universais, como frequ\u00eancia de oscila\u00e7\u00e3o e taxa de atenua\u00e7\u00e3o. Vejamos como isso se d\u00e1.<\/p>\n\n\n\n Voltamos a nossa equa\u00e7\u00e3o original, mas sem a aplica\u00e7\u00e3o de qualquer estimulo externo:<\/p>\n\n\n\n \\(\\ddot{y}\u200b(t)+\\frac{c}{m}\u200b\\dot{y}\u200b(t)+\\frac{k}{m}\u200by(t)=0\\)<\/p>\n\n\n\n Essa equa\u00e7\u00e3o diferencial \u00e9 a chave para entendermos os diferentes comportamentos poss\u00edveis do sistema. O que muda de um comportamento para outro s\u00e3o os coeficientes que acompanham os termos \u2014 em especial, o termo \\(\\frac{c}{m}\\).<\/p>\n\n\n\n A equa\u00e7\u00e3o caracter\u00edstica <\/a>associada \u00e0 nossa equa\u00e7\u00e3o diferencial \u00e9:<\/p>\n\n\n\n \\(r^2+\\frac{c}{m}r+\\frac{k}{m}=0\\)<\/p>\n\n\n\n A natureza das ra\u00edzes dessa equa\u00e7\u00e3o \u2014 reais, complexas, iguais ou distintas \u2014 determina como o sistema vibra (ou n\u00e3o vibra) ao longo do tempo. Temos 4 casos distintos de acordo com as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o caracteristica:<\/p>\n\n\n\n Se \\(c=0\\), temos: <\/p>\n\n\n\n \\(r^2+\\frac{k}{m}=0 \\rightarrow r=\\pm \\imath \\sqrt{\\frac{k}{m}}\\)\u200b\u200b<\/p>\n\n\n\n A solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o \u00e9:<\/p>\n\n\n\n \\( y(t)=A\\cos\u2061(\\omega_n t)+B\\sin\u2061(\\omega_n t)\\text{ ,com\u00a0}\\omega_n=\\sqrt{\\frac{k}{m}}\\)\u200b\u200b<\/p>\n\n\n\n O sistema oscila indefinidamente com frequ\u00eancia natural \\(\\omega_n\\)\u200b. N\u00e3o h\u00e1 perda de energia \u2014 \u00e9 o modelo ideal, te\u00f3rico, que serve como ponto de partida.<\/p>\n\n\n\n Para valores intermedi\u00e1rios de \\(c\\), a equa\u00e7\u00e3o caracter\u00edstica tem ra\u00edzes complexas com parte real negativa. A resposta do sistema \u00e9: <\/p>\n\n\n\n \\(y(t) = e^{-\\alpha t} \\left( A \\cos(\\omega_d t) + B \\sin(\\omega_d t) \\right)\\)<\/p>\n\n\n\n Neste caso, o sistema ainda oscila, mas com amplitude decrescente \u2014 a energia vai sendo dissipada gradualmente. Este \u00e9 o caso da maioria das estruturas.<\/p>\n\n\n\n Existe um valor espec\u00edfico de \\(c\\) que faz com que as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o sejam reais e iguais. Isso ocorre quando: <\/p>\n\n\n\n \\(\\left(\\frac{c}{m}\\right)^2 = 4\\frac{k}{m} \\quad \\Rightarrow \\quad c = 2 \\sqrt{km}\\)\u200b<\/p>\n\n\n\n Chamamos esse caso de amortecimento cr\u00edtico. A resposta \u00e9: <\/p>\n\n\n\n \\(y(t) = (A + Bt) e^{-\\omega_n t}\\)<\/p>\n\n\n\n O sistema n\u00e3o oscila, mas volta ao equil\u00edbrio o mais r\u00e1pido poss\u00edvel. Esse \u00e9 o limite entre os sistemas que oscilam e os que n\u00e3o oscilam.<\/p>\n\n\n\n Se \\(c > 2\\sqrt{km}\\), o sistema \u00e9 superamortecido. As ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o, \\(r_1 \\text{ e } r_2\\), s\u00e3o reais, distintas e negativas. O sistema n\u00e3o oscila, e sua resposta \u00e9:<\/p>\n\n\n\n \\(y(t) = A e^{r_1 t} + B e^{r_2 t}, \\quad r_1, r_2 < 0\\)<\/p>\n\n\n\n Embora a oscila\u00e7\u00e3o seja completamente eliminada, o retorno ao equil\u00edbrio \u00e9 mais lento do que no caso cr\u00edtico. Este \u00e9 o caso dos amortecedores do seu carro, por exemplo.<\/p>\n\n\n\n Apenas um pequeno parenteses: voc\u00ea j\u00e1 deve saber, mas n\u00e3o custa lembrar, as constantes \\(A\\) e \\(B\\) que aparecem nas solu\u00e7\u00f5es acima s\u00e3o determinadas pelas condi\u00e7\u00f5es iniciais e\/ou de contorno associadas a modelagem da ED. <\/p>\n\n\n\n Diante desses diferentes regimes de amortecimento, surge a ideia de definir um \u00fanico par\u00e2metro que, de certa forma, nos diga o qu\u00e3o pr\u00f3ximo estamos do amortecimento cr\u00edtico. Esse par\u00e2metro \u00e9 a raz\u00e3o de amortecimento \\(\\xi\\), definida como: <\/p>\n\n\n\n \\(\\xi = \\frac{c}{2\\sqrt{km}}\\)\u200b<\/p>\n\n\n\n A boa not\u00edcia sobre esse par\u00e2metro \u00e9 que podemos estim\u00e1-lo em campo. Com alguns sism\u00f3grafos, \u00e9 poss\u00edvel extrair o valor de \\(\\xi\\) diretamente da resposta da estrutura, sem precisar medir nem \\(c\\), nem \\(k\\), nem \\(m\\), individualmente.<\/p>\n\n\n\n E se podemos determinar \\(\\xi\\) em campo, o ideal \u00e9 reescrever a equa\u00e7\u00e3o de movimento usando \\(\\xi\\) e a frequ\u00eancia natural \\(\\omega_n\\)\u200b, no lugar das constantes \\(k\\), \\(m\\) e \\(c\\). Para isso, basta observar as rela\u00e7\u00f5es entre essas vari\u00e1veis:<\/p>\n\n\n\n Substituindo essas express\u00f5es na equa\u00e7\u00e3o de movimento: <\/p>\n\n\n\n \\(\\ddot{y}(t) + 2\\xi\\omega_n \\dot{y}(t) + \\omega_n^2 y(t) = 0\\)<\/p>\n\n\n\n Essa \u00e9 a forma universal e compacta da equa\u00e7\u00e3o de um sistema massa-mola amortecido \u2014 v\u00e1lida para qualquer combina\u00e7\u00e3o de massa, rigidez e amortecimento, desde que voc\u00ea conhe\u00e7a \\(\\omega_n\\)\u200b e \\(\\xi\\).<\/p>\n\n\n\n Substituir os par\u00e2metros f\u00edsicos por \\(\\omega_n\\) e \\(\\xi\\) muda tamb\u00e9m a equa\u00e7\u00e3o caracter\u00edstica:<\/p>\n\n\n\n \\(r^2 + 2\\xi\\omega_n r + \\omega_n^2 = 0\\)<\/p>\n\n\n\n As ra\u00edzes dessa equa\u00e7\u00e3o s\u00e3o: <\/p>\n\n\n\n \\(r = -\\xi \\omega_n \\pm \\omega_n \\sqrt{\\xi^2 – 1}\\)\u200b<\/p>\n\n\n\n Se \\( 0 < \\xi < 1\\) , temos \\(\\xi^2 – 1 < 0\\) , e a raiz \u00e9 complexa conjugada. Isso significa que a resposta ser\u00e1 oscilat\u00f3ria com amortecimento, o que corresponde \u00e0 esmagadora maioria das estruturas civis \u2014 a menos que tenham sido projetadas com algum tipo de isolamento ou amortecimento especial.<\/p>\n\n\n\n Dessa forma de solu\u00e7\u00e3o extra\u00edmos a chamada frequ\u00eancia de oscila\u00e7\u00e3o amortecida, definida como: <\/p>\n\n\n\n \\(\\omega_d = \\omega_n \\sqrt{1 – \\xi^2} \\quad \\text{(para } 0 < \\xi < 1 \\text{)}\\)<\/p>\n\n\n\n A vari\u00e1vel \\(\\omega_d\\)\u200b nos mostra com que frequ\u00eancia o sistema ir\u00e1 oscilar de fato, levando em conta o efeito do amortecimento. Quando \\(\\xi = 1\\), estamos exatamente no caso de amortecimento cr\u00edtico \u2014 e o sistema n\u00e3o oscila: ele responde uma \u00fanica vez e decai suavemente.<\/p>\n\n\n\n Mas quando \\(0 < \\xi < 1\\), entramos no reino das oscila\u00e7\u00f5es amortecidas \u2014 que \u00e9 o que mais interessa quando estamos analisando edif\u00edcios, casas, pontes e estruturas reais.<\/p>\n\n\n\n Nesse caso, as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o caracter\u00edstica s\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n \\( r = -\\xi\\omega_n \\pm i \\omega_d \\)\u200b<\/p>\n\n\n\n A parte real \\( \\xi \\omega_n \\) determina a taxa de decaimento da oscila\u00e7\u00e3o; A forma geral da solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o diferencial nesse caso \u00e9: <\/p>\n\n\n\n \\(y(t) = e^{-\\xi \\omega_n t} \\left( A \\cos(\\omega_d t) + B \\sin(\\omega_d t) \\right)\\)<\/p>\n\n\n\n Ou seja, uma oscila\u00e7\u00e3o harm\u00f4nica multiplicada por uma envolt\u00f3ria exponencial decrescente \u2014 o cl\u00e1ssico “sino amortecido” da engenharia.<\/p>\n\n\n\n Veja no gr\u00e1fico abaixo como a resposta se comporta para diferentes valores de \\(\\xi\\). Quanto menor o valor de \\(\\xi\\), mais lenta \u00e9 a perda de energia. Quando \\(\\xi = 1\\), a oscila\u00e7\u00e3o desaparece. Isso mostra, visualmente, a transi\u00e7\u00e3o entre os regimes vibrat\u00f3rios conforme discutido acima.<\/p>\n\n\n\n As estruturas que estamos acostumados a preservar quando efetuamos desmontes de rochas pr\u00f3ximos a elas, diga-se: casas de um ou mais pavimentos, pr\u00e9dios, pontes, viadutos e outras similares possuem um coeficiente \\(\\xi\\) entre \\( 0,01 \\leq \\xi \\leq 0,1\\). Voc\u00ea pode utilizar esta faixa de valores para realizar simula\u00e7\u00f5es, mas saiba que \u00e9 poss\u00edvel estimar o fator \\(\\xi\\) medindo a resposta a oscila\u00e7\u00e3o de uma estrutura em particular. Se voc\u00ea est\u00e1 detonando pr\u00f3ximo a uma edifica\u00e7\u00e3o, por exemplo, pode medir a resposta dela – colocando o sismografo sobre ela, em diversos pontos – e utilizar uma t\u00e9cnica chamada de logaritmo decremental para extrair \\(\\xi\\) diretamente do sismograma. Vejamos.<\/p>\n\n\n\n Imagine que o sistema \u00e9 levemente amortecido (caso mais comum em estruturas reais). Quando voc\u00ea o excita e depois deixa vibrar livremente, ele come\u00e7a a oscilar, mas com amplitude decrescente.<\/p>\n\n\n\n Essa resposta tem uma forma geral do tipo: <\/p>\n\n\n\n \\(y(t) = A e^{-\\xi \\omega_n t} \\cdot \\cos(\\omega_d t)\\)<\/p>\n\n\n\n Se observarmos os valores de pico dessa resposta ao longo do tempo, perceberemos que eles descrevem uma curva exponencial decrescente. Isso porque a amplitude decresce como: <\/p>\n\n\n\n \\(y_{\\text{pico}}(t) = A e^{-\\xi \\omega_n t}\\)<\/p>\n\n\n\n Veja no gr\u00e1fico abaixo o que queremos dizer quando falamos em tomar dois valores de pico consecutivos.<\/p>\n\n\n\n Os valores m\u00e1ximos (ou m\u00ednimos) da fun\u00e7\u00e3o ocorrem quando:<\/p>\n\n\n\n \\(y_{\\text{pico}}(t) = \\pm A e^{-\\xi \\omega_n t}\\)<\/p>\n\n\n\n Nesses instantes, a fun\u00e7\u00e3o \\(y(t)\\) atinge seus picos m\u00e1ximos e m\u00ednimos, que est\u00e3o localizados sobre a envolt\u00f3ria exponencial:<\/p>\n\n\n\n \\(y_{\\text{pico}}\u200b(t) = \\pm Ae^{\u2212\\xi\\omega_n\u200bt}\\)<\/p>\n\n\n\n Vamos considerar dois picos positivos consecutivos:<\/p>\n\n\n\n Em que \\(T\\) \u00e9 o per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o, calculado localmente. Isso \u00e9 feito multiplicando por \\(2\\pi\\), pois:<\/p>\n\n\n\n \\(f_d = \\frac{\\omega_d}{2\\pi} \\quad \\Rightarrow \\quad T = \\frac{1}{f_d} = \\frac{2\\pi}{\\omega_d}\\)<\/p>\n\n\n\n \u00c9 importante deixar claro que estamos assumindo que a resposta do sistema segue a forma da solu\u00e7\u00e3o da EDO \u2014 ou seja, uma oscila\u00e7\u00e3o senoidal amortecida. Isso \u00e9 uma aproxima\u00e7\u00e3o te\u00f3rica.<\/p>\n\n\n\n Na realidade, o sinal medido por um sism\u00f3grafo cont\u00e9m uma mir\u00edade de frequ\u00eancias, modos estruturais e efeitos de dissipa\u00e7\u00e3o n\u00e3o lineares. No entanto, sob certas condi\u00e7\u00f5es, especialmente quando o sistema \u00e9 bem comportado e a excita\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 muito ca\u00f3tica, essa aproxima\u00e7\u00e3o senoidal ainda oferece excelente acur\u00e1cia para os picos.<\/p>\n\n\n\n Essa hip\u00f3tese \u00e9 o que permite usar o logaritmo decremental como m\u00e9todo confi\u00e1vel para estimar a raz\u00e3o de amortecimento \\(\\xi\\).<\/p>\n\n\n\n Queremos agora observar como a amplitude decai de um pico para o pr\u00f3ximo. Para isso, formamos a raz\u00e3o: <\/p>\n\n\n\n \\(\\frac{y_1}{y_2} = \\frac{A e^{-\\xi \\omega_n t_1}}{A e^{-\\xi \\omega_n t_2}} = e^{\\xi \\omega_n (t_2 – t_1)}\\)<\/p>\n\n\n\n Note que a constante \\(A\\) se cancela, e o que sobra \u00e9 uma raz\u00e3o entre exponenciais.<\/p>\n\n\n\n Sabendo que \\(t_2 – t_1 = T = \\frac{2\\pi}{\\omega_d}\\)\u200b, temos<\/p>\n\n\n\n \\(\\frac{y_1}{y_2} = e^{\\xi \\omega_n T} = e^{\\xi \\omega_n \\cdot \\frac{2\\pi}{\\omega_d}}\\)<\/p>\n\n\n\n Os valores \\(y_1\\) e \\(y_2\\) podem ser lidos diretamente no sismograma. Assim, se definimos a vari\u00e1vel \\(\\delta\\) como:<\/p>\n\n\n\n \\( \\delta = \\ln\\left(\\frac{y_1}{y_2}\\right)\\)<\/p>\n\n\n\n E substituimos na express\u00e3o anterior:<\/p>\n\n\n\n \\( \\delta= \\ln \\left( e^{\\xi\\omega_n\\frac{\u200b2\\pi}{\\omega_d} } \\right) = \\xi \\omega_n\\frac{\u200b2\\pi}{\\omega_d} \\)<\/p>\n\n\n\n E finalmente, usando \\(\\omega_d = \\omega_n \\sqrt{1 – \\xi^2}\\)\u200b, obtemos:<\/p>\n\n\n\n \\( \\delta = \\frac{2\\pi \\xi}{\\sqrt{1 – \\xi^2} } \\)\u200b<\/p>\n\n\n\n A vari\u00e1vel \\( \\delta\\) \u00e9 conhecida como logaritmo decremental. Se isolamos \\(\\xi\\) temos:<\/p>\n\n\n\n \\( \\xi = \\frac{\\delta}{\\sqrt{4\\pi^2 + \\delta^2} } \\)<\/p>\n\n\n\n Um pequeno exemplo. Veja no gr\u00e1fico abaixo onde temos dois picos consecutivos \\(y_1 \\approx 0,5mm\\) e \\(y_2 \\approx 0,4mm\\) <\/p>\n\n\n\n temos:<\/p>\n\n\n\n \\( At\u00e9 aqui, utilizamos a resposta de deslocamento de part\u00edcula \\(y(t)\\) para estimar a raz\u00e3o de amortecimento \\(\\xi\\). Mas nada nos impede de aplicar o mesmo racioc\u00ednio usando a velocidade de part\u00edcula \\(\\dot{y}(t)\\). Isso porque a envolt\u00f3ria exponencial n\u00e3o muda: ela est\u00e1 presente tanto no deslocamento quanto na velocidade, j\u00e1 que ambas derivam da mesma fun\u00e7\u00e3o base amortecida. A forma geral da velocidade \u00e9: <\/p>\n\n\n\n \\(\\dot{y}(t) = A e^{-\\xi \\omega_n t} \\cdot f(t)\\)<\/p>\n\n\n\n Onde \\(f(t)\\) \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o oscilat\u00f3ria (cossenoides e senoides misturados), limitada entre +1 e -1, e os picos da velocidade ocorrem quando \\(f(t) = \\pm 1\\). Assim, a envolt\u00f3ria da velocidade \u00e9:<\/p>\n\n\n\n \\(\\dot{y}_{\\text{pico}}(t) \\propto e^{-\\xi \\omega_n t}\\)<\/p>\n\n\n\n Vamos considerar dois picos consecutivos de velocidade:<\/p>\n\n\n\n Fazendo a raz\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n \\( \\frac{\\dot{y}_{t+1}}{\\dot{y}_t} = e^{-\\xi \\omega_n T_d}\\)\u200b<\/p>\n\n\n\n Aplicando o logaritmo: <\/p>\n\n\n\n \\(\\ln\\left( \\frac{\\dot{y}_{t+1}}{\\dot{y}_t} \\right) = -\\xi \\omega_n T_d\\)\u200b<\/p>\n\n\n\n Como o per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o amortecido \u00e9:<\/p>\n\n\n\n \\(T_d=\\frac{2\\pi}{\\omega_n\\sqrt{1-\\xi^2}}\\)<\/p>\n\n\n\n Temos:<\/p>\n\n\n\n \\( \\(\\xi \\approx -\\frac{\\delta_{\\dot{y}} }{2\\pi}\\)<\/p>\n\n\n\n E assim, voc\u00ea pode estimar \\(\\xi\\) diretamente do seu sismograma de velocidade de part\u00edcula, quando o sism\u00f3grafo estiver medindo a resposta livre da estrutura ap\u00f3s uma excita\u00e7\u00e3o \u2014 seja ela um desmonte, um impacto ou uma vibra\u00e7\u00e3o induzida. Cada ponto da estrutura pode responder de forma ligeiramente diferente \u2014 e isso \u00e9 perfeitamente normal. Afinal, a estrutura \u00e9 tridimensional, cont\u00ednua, com diferentes acoplamentos din\u00e2micos.<\/p>\n\n\n\n Nesse caso, voc\u00ea pode calcular o logaritmo decremental \\(\\delta\\) em v\u00e1rios pontos e depois tirar a m\u00e9dia:<\/p>\n\n\n\n \\(\\delta_{\\text{medio}} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n} \\ln\\left( \\frac{\\dot{y}_{i}}{\\dot{y}_{i+1}} \\right)\\)<\/p>\n\n\n\n E a partir disso, estimar um \\(\\xi\\) m\u00e9dio: <\/p>\n\n\n\n \\( \\xi_{\\text{m\u00e9dio}} = \\frac{\\delta_{ \\text{medio} } } {2\\pi} \\)<\/p>\n\n\n\n Com uma \u00fanica equa\u00e7\u00e3o e dois picos consecutivos, voc\u00ea j\u00e1 tem um bom chute. As dedu\u00e7\u00f5es feitas at\u00e9 aqui \u2014 a solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o diferencial para o sistema amortecido, os par\u00e2metros \\(\\omega_n\\)\u200b e \\(\\xi\\), e os modelos de previs\u00e3o da velocidade de part\u00edcula baseados na an\u00e1lise dimensional \u2014 nos preparam para enfrentar dois desafios fundamentais da engenharia de explosivos:<\/p>\n\n\n\n Antes de partirmos para essas dedu\u00e7\u00f5es, precisamos abrir um pequeno par\u00eantese para apresentar uma das ferramentas matem\u00e1ticas mais importantes da resposta din\u00e2mica: a solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o diferencial de um sistema amortecido via integral de Duhamel<\/a>. Vamos l\u00e1.<\/p>\n\n\n\n At\u00e9 agora, estudamos a resposta do sistema massa-mola-amortecido sem excita\u00e7\u00e3o externa \u2014 a chamada resposta livre. A equa\u00e7\u00e3o de movimento com excita\u00e7\u00e3o externa, segundo tudo o que j\u00e1 desenvolvemos at\u00e9 agora, \u00e9:<\/p>\n\n\n\n \\(\\ddot{y}(t) + 2\\xi\\omega_n \\dot{y}(t) + \\omega_n^2 y(t) = \\ddot{u}_g(t)\\)<\/p>\n\n\n\n Nosso objetivo agora \u00e9 encontrar a resposta \\(y(t)\\) para um dado sinal de excita\u00e7\u00e3o \\(\\ddot{u}_g(t)\\). E quem resolve isso \u00e9 a famosa integral de Duhamel.<\/p>\n\n\n\n A l\u00f3gica \u00e9 a seguinte: se a gente conhece a resposta do sistema a um impulso unit\u00e1rio (um \u201cempurr\u00e3ozinho\u201d em \\(t= \\tau\\)), ent\u00e3o a resposta a qualquer \\(\\ddot{u}_g(t)\\) pode ser constru\u00edda como uma soma ponderada desses impulsos, cada um com sua for\u00e7a e seu momento de aplica\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n Em outras palavras:<\/p>\n\n\n\n A resposta total \u00e9 a soma (integral) de infinitos impulsos multiplicados pela resposta que cada impulso gera.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n Na f\u00edsica, a fun\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica que podemos usar para representar um impulso, uma aplica\u00e7\u00e3o muito r\u00e1pida de uma for\u00e7a (pense em uma raquete acertando a bola de t\u00eanis) \u00e9 a famosa fun\u00e7\u00e3o Delta de Dirac <\/a>denotada por \\(\\delta(t – \\tau)\\). Essa fun\u00e7\u00e3o tem duas propriedades fundamentais:<\/p>\n\n\n\n
Uma pequena descri\u00e7\u00e3o deste teorema \u00e9 necess\u00e1ria para que voc\u00ea possa trilhar nosso texto sem maiores dificuldades. Sen\u00e3o vejamos.<\/p>\n\n\n\nA natureza puramente f\u00edsica das coisas: nada depende de como nomeamos a massa, o comprimento ou o tempo. O Teorema \\(\\pi\\) de forma simplificada.<\/h2>\n\n\n\n
Al\u00e9m disso, toda equa\u00e7\u00e3o f\u00edsica precisa ser dimensionalmente coerente. N\u00e3o d\u00e1 pra somar metros com segundos nem igualar uma for\u00e7a com uma dist\u00e2ncia.<\/p>\n\n\n\n\n
\\( F(\\pi_1, \\pi_2, \\dots, \\pi_p) = 0\\)<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
A \u00faltima parte \u00e9 muito sint\u00e9tica – no sentido de trazer muito conte\u00fado em uma pequena dose:<\/p>\n\n\n\n
Primeiro, observe que \\(F\\) \u00e9 uma nota\u00e7\u00e3o para uma fun\u00e7\u00e3o.
Isso significa que \\(F\\) pega um monte de vari\u00e1veis \u2014 no nosso caso, \\(\\pi_1,\\pi_2\\dots,\\pi_p\\)\u200b \u2014 e devolve um \u00fanico valor como resposta. No caso do Teorema \\(\\pi\\), esse valor \u00e9 zero:
\\( F(\\pi_1, \\pi_2, \\dots, \\pi_p) = 0\\)<\/p>\n\n\n\n
Eles s\u00e3o as combina\u00e7\u00f5es adimensionais que surgem a partir das vari\u00e1veis envolvidas no problema f\u00edsico que estamos estudando.<\/p>\n\n\n\n\n
\n
Logo, o Teorema \\(\\pi\\) nos garante que existe apenas um n\u00famero adimensional: \\(p = n\u2212k = (4 – 3) = 1\\), e a ideia \u00e9 montar uma combina\u00e7\u00e3o dessas vari\u00e1veis que n\u00e3o tenha unidade nenhuma. Essa \u00e9 a ess\u00eancia do Teorema \\(\\pi\\).<\/p>\n\n\n\n\n
\\pi_1 = R^aE^b\\rho^ct^d = [L]^a[ML^2T^{\u22122}]^b[ML^{\u22123}]^c[T]^d
\\)<\/p>\n\n\n\n
[L]^{a+2b-3c}[M]^{b+c}[T]^{d\u22122b}
\\)<\/p>\n\n\n\n
a+2b-3c = 0\\\\
b+c = 0\\\\
d\u22122b = 0\\\\
\\)<\/p>\n\n\n\n
Agora que temos:<\/p>\n\n\n\n\n
\\pi_1=R^aE^b\\rho^ct^d=R^{\u22125}E^1\\rho^{\u22121}t^2
\\\\
\\pi_1=\\frac{Et^2}{R^5\\rho} = constante\u200b
\\)<\/p>\n\n\n\n
E=\\frac{R^5\\rho}{t^2}.A
\\)<\/p>\n\n\n\n
Mas a hist\u00f3ria n\u00e3o para por a\u00ed, o pessoal pegou o gancho e estendeu a an\u00e1lise para outros campos. Dois engenheiros, Nicholas Ambraseys <\/a>e Robert A. Hendron Jr. s\u00e3o considerados “os caras” que levaram a an\u00e1lise dimensional para a previs\u00e3o de vibra\u00e7\u00f5es de desmontes de rocha com uso de explosivos. Voc\u00ea pode encontrar muitas publica\u00e7\u00f5es destes dois gigantes da engenharia na base de dados da ISEE<\/a>.<\/p>\n\n\n\nO teorema \\(\\pi\\) e as vibra\u00e7\u00f5es no desmonte de rochas.<\/h2>\n\n\n\n
\n
\n
\\pi_1 = \\frac{R^{3\/2} \\cdot \\rho^{1\/2} \\cdot c}{E^{1\/2}} \\\\
\\pi_2 = \\frac{E^{1\/2} \\cdot t}{R^{5\/2} \\cdot \\rho^{1\/2}} \\\\
\\pi_3 = \\frac{x}{R} \\\\
\\pi_4 = \\frac{v \\cdot R^{3\/2} \\cdot \\rho^{1\/2}}{E^{1\/2}} \\\\
\\pi_5 = \\frac{a \\cdot R^4 \\cdot \\rho}{E} \\\\
\\pi_6 = \\frac{f \\cdot R^{5\/2} \\cdot \\rho^{1\/2}}{E^{1\/2}}
\\)<\/p>\n\n\n\n
\\pi_1 = \\frac{u}{R}\\\\
\\pi_2 = \\frac{v}{c}\\\\
\\pi_3 = \\frac{aR}{c^2}\\\\
\\pi_4 = ft\\\\
\\pi_5 = \\frac{tc}{R}\\\\
\\pi_6 = \\frac{E}{\\rho c^2 R^3}\\\\
\\)<\/p>\n\n\n\n
u_{max} = 0,072 \\left(\\frac{30,5}{R}\\right)^{1,1} \\left(\\frac{3050}{c}\\right)^{1,4} \\left(\\frac{w}{4,54}\\right)^{0,7} \\left(\\frac{2,4}{\\rho}\\right)^{0,7} (mm)
\\\\
v_{max} = 18,3 \\left(\\frac{30,5}{R}\\right)^{1,46} \\left(\\frac{w}{4,54}\\right)^{0,48} \\left(\\frac{2,4}{\\rho}\\right)^{0,48} (mm\/s)
\\\\
a_{max} = 0,81 \\left(\\frac{30,5}{R}\\right)^{1,84} \\left(\\frac{c}{3050}\\right)^{1,45} \\left(\\frac{w}{4,54}\\right)^{0,28} \\left(\\frac{2,4}{\\rho}\\right)^{0,28} (g)
\\)<\/p>\n\n\n\n
1 – As equa\u00e7\u00e3oes s\u00e3o dimensionalmente corretas.
2 – O tempo n\u00e3o aparece por que s\u00e3o equa\u00e7\u00f5es para a previs\u00e3o dos valores m\u00e1ximos, n\u00e3o para toda a medi\u00e7\u00e3o temporal dos valores de deslocamento, velocidade e acelera\u00e7\u00e3o de part\u00edcula.
Percebeu o uso do Teorema \\(\\pi\\)? O problema \u00e9 “precisamos estimar os valores m\u00e1ximos de deslocamento, velocidade e acelera\u00e7\u00e3o de part\u00edcula, quais as vari\u00e1veis que entram no nosso estudo, ou seja, quais parametros f\u00edsicos importam?”.
Dowding trabalhou com estes:
R – dist\u00e2ncia.
c – Velocidade de propaga\u00e7\u00e3o do meio.
w – Carga explosiva.
\\(\\rho\\) – Densidade do meio.
Al\u00e9m disso, utilizou valores de refer\u00eancia para cada vari\u00e1vel e com isso, atrav\u00e9s de medi\u00e7\u00f5es em campo, determinou os coeficientes para cada fator adimensional. Utilizar valores de refer\u00eancia significa que para o estudo em quest\u00e3o, se voc\u00ea estiver a uma dist\u00e2ncia de 30,5m da fonte, utilizar uma CME com 4,54kg de explosivos e estiver em um meio com densidade de 2,4 \\(t\/m^3\\) ter\u00e1 uma velocidade de part\u00edcula de 18,3mm\/s. E se os parametros forem outros? Ent\u00e3o os expoentes de cada adimensional va\u00f5 “calibar” seu resultado. Assim, estes valores de referencia apenas normalizam a equa\u00e7\u00e3o em rela\u00e7\u00e3o a um estudo inicial.<\/p>\n\n\n\n
v_{max} = k \\cdot \\left( \\frac{R}{Q^\\beta} \\right)^\\alpha
\\)<\/p>\n\n\n\n
\\(R \\sim [L] \\)
\\(Q \\sim [M] \\)<\/p>\n\n\n\n
\\left( \\frac{R}{Q^{\\beta}} \\right)^{\\alpha} \\sim [L]^{\\alpha} \\cdot [M]^{-\\alpha \\beta}
\\)<\/p>\n\n\n\n
\\( dim(k) = [L]^{(1 – \\alpha)} \\cdot [T]^{-1} \\cdot [M]^{\\alpha \\beta} \\)<\/p>\n\n\n\n
\\pi_6 = \\frac{E}{\\rho c^2 R^3},
\\)<\/p>\n\n\n\n
v \\sim \\frac{1}{R^{\\gamma}} \\cdot \\sqrt{\\frac{E}{\\rho c}},
\\)<\/p>\n\n\n\n
v_{max} = k \\cdot \\left( \\frac{R}{Q^\\beta} \\right)^\\alpha
\\)<\/p>\n\n\n\n\n
Sistema massa-mola amortecido com um grau de liberdade.<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/golin.dev.br\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/sistemaMassaMola-1.png\")
<\/figure>\n\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/golin.dev.br\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/sistemaMassaMolaAmortecido-2.png\")
<\/figure>\n<\/figure>\n\n\n\n
y(t) = x(t)-u(t)
\\)<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/golin.dev.br\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/sistemaMassaMolaAmortecidoYt.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\\dot{x}(t)=\\frac{dx}{dt}
\\\\
\\dot{u}(t)=\\frac{du}{dt}
\\)<\/p>\n\n\n\n
m\\ddot{x}(t) = F_k + F_c = -k(x(t) – u(t)) – c(\\dot{x}(t) – \\dot{u}(t))
\\\\.\\\\
m\\ddot{x}(t) + c\\dot{x}(t) + kx(t) = ku(t) + c\\dot{u}(t)
\\\\.\\\\
\\text{Como } y(t) = x(t) – u(t) \\Rightarrow x(t) = y(t) + u(t)
\\\\.\\\\
m(\\ddot{y}(t) + \\ddot{u}(t)) + c(\\dot{y}(t) + \\dot{u}(t)) + k(y(t) + u(t)) = ku(t) + c\\dot{u}(t)
\\\\.\\\\
m\\ddot{y}(t) + m\\ddot{u}(t) + c\\dot{y}(t) + c\\dot{u}(t) + ky(t) + ku(t) = ku(t) + c\\dot{u}(t)
\\\\.\\\\
m\\ddot{y}(t) + m\\ddot{u}(t) + c\\dot{y}(t) + ky(t) = 0
\\\\.\\\\
m\\ddot{y}(t) + c\\dot{y}(t) + ky(t) = -m\\ddot{u}(t)
\\)<\/p>\n\n\n\n
\\frac{m\\ddot{y}(t) + c\\dot{y}(t) + ky(t)}{m} =\\frac{ -m\\ddot{u}(t)} {m}
\\\\.\\\\
\\ddot{y}(t) + \\frac{c}{m}\\dot{y}(t) + \\frac{k}{m}y(t) = -\\ddot{u}(t)
\\)<\/p>\n\n\n\n
\\frac{c}{m}
\\\\
\\text{e}
\\\\
\\frac{k}{m}
\\)<\/p>\n\n\n\n\n
m\\ddot{y}(t)+ky(t) = 0 \\rightarrow \\ddot{y}(t)+\\frac{k}{m}y(t)=0
\\)<\/p>\n\n\n\n
r^2+\\frac{k}{m}\u200b=0 \\rightarrow r =\\pm \\imath \\sqrt{\\frac{k}{m}}\u200b\u200b
\\)<\/p>\n\n\n\n\n
Ela \u00e9 a caracter\u00edstica mais fundamental de qualquer sistema oscilat\u00f3rio \u2014 o “batimento card\u00edaco” da estrutura. \u00c9 dela que devemos nos distanciar quando falamos de frequencias associadas ao desmonte de rochas por explosivos. Se nosso desmonte gera frequ\u00eancias iguais ou muito pr\u00f3ximas a frequencia natural da estrutura, a estrutura amplificar\u00e1 a sua resposta, ou seja, a velocidade de part\u00edcula medida na estrutura ser\u00e1 maior que \u00e0quela que chegou at\u00e9 ela. Isto \u00e9 um dos pilares te\u00f3ricos do porque diversas normas de controle de vibra\u00e7\u00e3o utilizam n\u00e3o s\u00f3 a velocidade de part\u00edcula como limita\u00e7\u00e3o mas tamb\u00e9m a frequencia associada.<\/p>\n\n\n\n\n
Caso 1: Sistema puramente el\u00e1stico sem amortecimento.<\/h3>\n\n\n\n
Caso 2: Sistema amortecido.<\/h3>\n\n\n\n
Caso 3: Sistema criticamente amortecido.<\/h3>\n\n\n\n
Caso 4: Sistema superamortecido. <\/h3>\n\n\n\n
Raz\u00e3o de amortecimento – \\(\\xi\\).<\/h2>\n\n\n\n
\n
A equa\u00e7\u00e3o caracter\u00edstica, agora de roupa nova<\/strong><\/h3>\n\n\n\n
O que essa frequ\u00eancia nos diz?<\/strong><\/h3>\n\n\n\n
A parte imagin\u00e1ria \\( \\omega_d \\) determina a frequ\u00eancia de oscila\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\nSolu\u00e7\u00e3o completa da EDO<\/strong><\/h3>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/golin.dev.br\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/razaoamortecimento-1024x610.png\")
<\/figure>\n\n\n\nEstimando a raz\u00e3o de amortecimento com o logaritmo decremental<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/golin.dev.br\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/logdecremental-1024x507.png\")
<\/figure>\n\n\n\nOnde est\u00e3o os picos?<\/h3>\n\n\n\n
\n
Um pequeno detalhe sobre este passo, que \u00e9 importante: At\u00e9 agora, temos nos referido a \\(\\omega_n\\)\u200b e \\(\\omega_d\\) como frequ\u00eancias angulares \u2014 ou seja, em unidades de rad\/s. No entanto, para calcular o per\u00edodo da oscila\u00e7\u00e3o (em segundos), precisamos converter essas frequ\u00eancias para ciclos completos.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/golin.dev.br\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/razaoincremental-1024x507.png\")
<\/figure>\n\n\n\n
\\delta = \\ln\\left(\\frac{0,5}{0,4}\\right) \\approx \\ln(1,25)\\approx 0,22
\\\\
\\xi = \\frac{0,22}{\\sqrt{4\\pi^2 + 0,22^2} } \\approx \\frac{0,22}{6,28}\\approx 0,035 (3,5\\%)\\) <\/p>\n\n\n\n\n
\\delta_{\\dot{y}} = -\\xi \\omega_n T_d
\\\\
\\delta_{\\dot{y}} = -\\xi \\frac{2\\pi}{\\sqrt{1-\\xi^2}}
\\\\
\\frac{\\xi}{\\sqrt{1-\\xi^2}} = -\\frac{\\delta_{\\dot{y}} }{2\\pi}
\\)
Se considerarmos estruturas civsis comuns, teremos um erro pequeno se considerarmos o termo \\( 1-\\xi^2 \\approx 1\\) para valores de \\(\\xi\\) pequenos. Assim:<\/p>\n\n\n\n
Na pr\u00e1tica, voc\u00ea pode obter diversos valores de \\(\\xi\\), dependendo do local da medi\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n\n
Com v\u00e1rios pontos e m\u00e9dias bem calculadas, voc\u00ea tem um modelo robusto e representativo do amortecimento real da sua estrutura.<\/p>\n\n\n\nO Espectro de Resposta, Pseudovelocidade e Pseudoacelera\u00e7\u00e3o<\/h2>\n\n\n\n
\n
A Integral de Duhamel \u2014 a resposta completa a qualquer excita\u00e7\u00e3o<\/h3>\n\n\n\n
Mas na pr\u00e1tica, o que temos \u00e9 sempre uma for\u00e7a que age sobre a estrutura ao longo do tempo, como vibra\u00e7\u00f5es causadas por:<\/p>\n\n\n\n\n
\n
![\"\"](\"https:\/\/golin.dev.br\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/velocidadeparticula-1.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/golin.dev.br\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/tabelaPPV-1.png\")
<\/figure>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/golin.dev.br\/site\/wp-content\/uploads\/2025\/05\/Figure-2025-05-27-144618-1024x507.png\")
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